Парадокс рассела

История

Рассел вероятно открыл свой парадокс в мае или июне 1901 года. Согласно самому Расселу, он пытался найти ошибку в доказательстве Кантора того парадоксального факта (известного как парадокс Кантора), что не существует максимального кардинального числа (а значит и множества всех множеств). В результате Рассел получил более простой парадкс. Он сообщил свой парадокс 16 июня 1902 года в письме к Фреге, в котором писал, что обнаружил противоречие в «Исчислении понятий» — книге Фреге, опубликованной в 1879 году. Он изложил свой парадокс в терминах логики, а потом в терминах теории множеств, используя определение Фреге для функции:

Я испытал трудности только в одном месте. Вы утверждаете (стр. 17), что функция может сама выступать в качестве неизвестного. Раньше я тоже так считал. Но теперь такой взгляд мне кажется сомнительным из-за следующего противоречия. Пусть w предикат: «быть предикатом, который не приложим к самому себе». Может ли w быть приложим к самому себе? Из любого ответа следует обратное. Следовательно, мы должны заключить, что w — не предикат. Аналогично не существует класса (как целого) тех классов, которые, взятые как целое, не принадлежат себе. Отсюда я заключаю, что иногда определённое множество не формирует целостного образования.

Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet.

Фреге получил письмо как раз в то время, когда завершил работу над вторым томом «Основных законов арифметики» (нем. Grundgesetze der Arithmetik). У Фреге не было времени исправить свою теорию множеств. Но он добавил приложение ко второму тому с изложением и своим анализом парадокса, которое начиналось с замечания:

Вряд ли с учёным может приключиться что-нибудь худшее, чем, если у него из-под ног выбьют почву в тот самый момент, когда он завершит свой труд. Именно в таком положении оказался я, получив письмо от Бертрана Рассела, когда моя работа уже была завершена.

Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte.

Далее Фреге предлагал следующий способ исправить свою теорию, чтобы избежать парадокса Рассела. Вместо аксиомы:

которая говорила, что можно построить множество

{
x
:
ϕ
(
x
)
}

{\displaystyle \{x\colon \phi (x)\}}

элементов, удовлетворяющие свойству

ϕ
(
x
)

{\displaystyle \phi (x)}

он предложил использовать следующую аксиому:

таким образом исключив возможность для множества быть элементом самого себя. Однако небольшая модификация парадокса Рассела доказывает, что и эта аксиома тоже противоречива.

Рассел опубликовал свой парадокс в своей книге «Принципы математики» в 1903 году .

Эрнст Цермело утверждал, что открыл этот парадокс, независимо от Рассела, и сообщил о нём до 1903 года Гильберту и другим. Это потвердил и Гильберт, написав Фреге 7 ноября 1903 года, что он знал об этом парадоксе. Гильберт писал: «я думаю Цермело нашёл его года 3-4 назад… Я нашёл другие ещё более убедительные противоречия ещё 4-5 лет назад». Кроме того в 1978 году в бумагах Эдмунда Гуссерля была обнаружена формулировка этого парадокса, которую Цермело сообщил Гуссерлю 16 апреля 1902 года. В этой формулировке доказывается, что множество M, содержащее все свои подмножества в качестве элементов, приводит к противоречию. Для доказательства рассматривается подмножество M, состоящее из множеств, которые не содержат себя сами.

Формулировка

Если система аксиом любой аксиоматической теории множеств непротиворечива, то она в силу теорем Гёделя и Лёвенгейма — Сколема имеет модель и, более того, эта модель может быть построена на натуральных числах. То есть всего лишь счётное множество объектов (каждый из которых будет соответствовать уникальному множеству) требуется для того, чтобы подобрать значение предиката для каждой пары объектов, полностью удовлетворяющее системам аксиом теории множеств (например, ZF или ZFC, см. Аксиоматика теории множеств). В такой ситуации для каждого объекта модели лишь конечное или счётное количество объектов (больше просто нет в предметной области) могут входить в отношение . Фиксируем такую модель со счётным в качестве предметной области.

В силу теорем ZF, вне зависимости от принятой модели в ZF выводимо, например, существование терма , мощность которого несчётна. Но в счётной модели любое множество вынужденно не более чем счётно — противоречие?

Апория «Летящая стрела»

Знаменитый парадокс Зенона Элейского затрагивает глубочайшие противоречия в представлениях учёных о природе движения и времени. Апория сформулирована так: стрела, выпущенная из лука, остаётся неподвижной, так как в любой момент времени она покоится, не совершая перемещения. Если в каждый момент времени стрела покоится, значит она всегда находится в состоянии покоя и не движется вообще, так как нет момента времени, в который стрела перемещается в пространстве.

www.academic.ru

Выдающиеся умы человечества веками пытаются разрешить парадокс летящей стрелы, однако с логической точки зрения он составлен абсолютно верно. Для его опровержения требуется объяснить, каким образом конечный временной отрезок может состоять из бесконечного числа моментов времени — доказать это не удалось даже Аристотелю, убедительно критиковавшему апорию Зенона. Аристотель справедливо указывал, что отрезок времени нельзя считать суммой неких неделимых изолированных моментов, однако многие учёные считают, что его подход не отличается глубиной и не опровергает наличие парадокса. Стоит отметить, что постановкой проблемы летящей стрелы Зенон стремился не опровергнуть возможность движения, как таковую, а выявить противоречия в идеалистических математических концепциях.

Проблема курицы и яйца

Наверняка, каждому из вас хотя бы раз в жизни задавали вопрос: «Что появилось раньше — курица или яйцо?». Искушённые в зоологии знают ответ: птицы появлялись на свет из яиц задолго до возникновения среди них отряда куриных. Стоит отметить, что в классической формулировке говорится как раз о птице и яйце, но и она допускает лёгкое решение: ведь, например, динозавры появились раньше птиц, и они тоже размножались, откладывая яйца.

Если учесть все эти тонкости, можно сформулировать проблему следующим образом: что появилось ранее — первое животное, откладывающее яйца, или собственно его яйцо, ведь откуда-то должен был вылупиться представитель нового вида.

Главная проблема заключается в установке причинно-следственной связи между явлениями нечёткого объёма. Для более полного понимания этого ознакомьтесь с принципами нечёткой логики — обобщения классической логики и теории множеств.

Говоря упрощённо, дело в том, что животные в ходе эволюции прошли через бесчисленное количество промежуточных этапов — это касается и способов выведения потомства. На различных эволюционных стадиях они откладывали разные объекты, которые нельзя однозначно определить как яйца, но имеющие с ними некоторое сходство.

Вероятно, объективного решения этой проблемы не существует, хотя, например, британский философ Герберт Спенсер предложил такой вариант: «Курица — лишь способ, которым одно яйцо производит другое яйцо».

Парадоксы в логике

Основная статья: Логический парадокс

Логический парадокс — противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям. Логическая ошибка парадокса объясняется неверным выбором логических посылок, например, когда речь идет о предметах, не имеющих четкого определения (См. стрела Зенона).

Различаются такие разновидности логических парадоксов, как апория и антиномия.

• Апория характеризуется наличием аргумента, противоречащего очевидному, общепринятому мнению, здравому смыслу.
• Антиномия — наличием двух противоречащих друг другу, одинаково доказуемых суждений.

Виды апорий

• Парадокс лжеца — семейство логических парадоксов, классический вариант которого гласит: «Я лгу», или, более точно: «Данное утверждение ложно». Если предположить, что утверждение истинно, то, поскольку оно гласит свою ложность, оно ложно, что является противоречием. Напротив, если предположить его ложность, то оно соответствует тому, что само гласит, а потому истинно, что также является противоречием. Подобные парадоксу лжеца утверждения часто использовались на протяжении истории философии: он был известен древним грекам и использовался как головоломка средневековыми логиками, а также стал основополагающим объектом исследования современной логики.
• Парадокс кучи — логический парадокс, сформулированный Евбулидом из Милета (IV век до н. э.), связанный с неопределённостью предиката «быть кучей». Формулировка парадокса основана на базисной предпосылке, согласно которой одно зёрнышко не образует кучи, и индуктивной предпосылке, по которой добавление одного зёрнышка к совокупности, кучей не являющейся, несущественно для образования кучи. При принятии этих предпосылок никакая совокупность из сколь угодно большого количества зёрен не будет образовывать кучи, что противоречит представлению о существовании кучи из зёрен. Парадокс используется как одно из обоснований рассмотрения нечёткой логики.

Ошибка Фреге

«Парадокс лжеца» имел глубокие последствия для исторического развития теории множеств. Он показал, что понятие универсального множества является крайне проблематичным. Он также подверг сомнению понятие о том, что для каждого определяемого условия или предиката можно предположить существование множества только тех вещей, которые удовлетворяют этому условию. Вариант парадокса, касающийся свойств – естественное продолжение версии со множествами – вызвал серьезные сомнения по поводу того, можно ли утверждать об объективном существовании свойства или универсального соответствия каждому определяемому условию или предикату.

Вскоре были найдены противоречия и проблемы в работах тех логиков, философов и математиков, которые делали подобные предположения. В 1902 году Рассел обнаружил, что вариант парадокса можно выразить в логической системе, разработанной в I томе Готтлоба Фреге «Основания арифметики», одной из главных работ по логике конца XIX – начала XX века. В философии Фреге множество понимается как «расширение» или «значение-диапазон» понятия. Понятия являются ближайшими коррелятами к свойствам. Предполагается, что они существуют для каждого заданного состояния или предиката. Таким образом, существует понятие множества, которое не подпадает под его определяющее понятие. Существует также класс, определяемый этим понятием, и он подпадает под определяющее его понятие только в случае, если это не так.

Рассел написал Фреге об этом противоречии в июне 1902 г. Переписка стала одной из самых интересных и обсуждаемых в истории логики. Фреге немедленно признал катастрофические последствия парадокса. Он отметил, однако, что версия противоречия, касающаяся свойств, в его философии была разрешена путем различения уровней понятий.

Фреге понятия понимал как функции перехода от аргументов к значениям истинности. Понятия первого уровня принимают в качестве аргументов объекты, понятия второго уровня принимают в качестве аргументов эти функции и так далее. Таким образом, понятие никогда не может взять себя в качестве аргумента, а парадокс в отношении свойств не может быть сформулирован. Тем не менее множества, расширения или понятия понимались Фреге как относящиеся к тому же логическому типу, что и все остальные объекты. Тогда для каждого множества возникает вопрос, подпадает ли оно под определяющее его понятие.

Когда Фреге получил первое письмо Рассела, второй том «Оснований арифметики» уже заканчивал печататься. Он был вынужден быстро подготовить приложение, дающее ответ на парадокс Рассела. Примеры Фреге содержали ряд возможных решений. Но он пришел к заключению, ослабившему понятие абстракции множества в логической системе.

В оригинале можно было прийти к выводу, что объект принадлежит множеству тогда и только тогда, когда он подпадает под понятие, его определяющее. В пересмотренной системе можно лишь заключить, что объект принадлежит множеству тогда и только тогда, когда он подпадает под понятие определяющего множества, а не множества, о котором идет речь. Парадокс Рассела не возникает.

Решение, однако, не совсем удовлетворило Фреге. И этому была причина. Несколько лет спустя для пересмотренной системы была найдена более сложная форма противоречия. Но еще до того, как это произошло, Фреге отказался от своего решения и, кажется, пришел к выводу, что его подход был просто неработоспособен, и что логикам придется обойтись вообще без множеств.

Тем не менее были предложены иные, относительно более успешные альтернативные решения. Они обсуждаются ниже.

Варианты парадокса

Существует несколько вариантов парадокса Рассела. В отличие от самого парадокса, они как правило не выражаются на формальном языке.

Парадокс лжеца

Парадокс лжеца

Парадокс Рассела связан с известным ещё с античных времён парадоксом лжеца, который заключается в следующем. Рассмотрим высказывание:

Истинно ли это высказывание или нет? Легко показать, что это высказывание не может быть ни истинным, ни ложным.

Рассел про этот парадокс писал:

Это древняя загадка, к которой никто не относился более, чем как к шутке, пока не было обнаружено, что этот вопрос имеет отношение к таким важным и практическим задачам, как существование наибольшего кардинального или ординального числа.

It is an ancient puzzle, and nobody treated that sort of thing as anything but a joke until it was found that it had to do with such important and practical problems as whether there is a greatest cardinal or ordinal number.

Сам Рассел предложил такое решение парадокса лжеца. Чтобы говорить что-нибудь о высказываниях, надо сначала определить само понятие «высказывания», при этом не используя неопределённых пока понятий. Таким образом, мы можем определить высказывания первого типа, которые ничего не говорят о высказываниях. Потом мы можем определить высказывания второго типа, которые говорят о высказываниях первого типа, и так далее. Высказывание же «Данное высказывание — ложно» не попадает, не под одно из этих определений, и таким образом не имеет смысла.

Парадокс брадобрея

Рассел иллюстрировал свой парадокс следующей загадкой, которую ему кто-то подсказал.

Любой ответ приводит к противоречию. Рассел замечает, что этот парадокс не эквивалентен его парадоксу и легко решается. Действительно, точно также, как парадокс Рассела показывает, что не существует расселовского множества, парадокс брадобрея показывает, что такого брадобрея просто не существует. Разница состоит в том, что в несуществовании такого брадобрея ничего удивитильного нет: не для любого свойства, найдется брадобрей, который бреет людей обладающих этим свойством. Однако то, что не существует множества элементов, заданных некоторым вполне определённым свойством, противоречит наивной теории множеств и требует объяснения.

Близкий по формулировке к парадоксу Рассела, вариант его изложения, в котором вместо множеств используются каталоги.

Парадокс возникает при попытке решить, должен ли этот каталог описывать сам себя. Несмотря на кажущуюся близость формулировок (каталоги это по сути множества), этот парадокс, также как и парадокс брадобрея, разрешается просто: такой каталог составить нельзя.

Парадокс Греллинга — Нельсона

Парадокс Греллинга — Нельсона

Этот парадокс был сформулирован немецкими математиками Куртом Греллингом и Леонардом Нельсоном в 1908 году. Он фактически является переводом варианта парадокса Рассела, изложеного им в терминах логики предикатов, на нематематический язык.

Любой ответ приводит к противоречию. В отличие от парадоса брадобрея, решение этого парадокса не такое простое. Мы не можем просто сказать, что такого прилагательного («нерефлексивный») не существует, так как мы его только что определили. Парадокс возникает из-за того, что определение термина «нерефлексивный» некоректно само по себе. Определение этого термина зависит от значения прилагательного, к которому оно применяется. А так как слово «нерефлексивный» само является прилагательным в определении возникает порочный круг.

История

Открытие Рассела произошло во время его работы над «Принципами математики». Хотя он обнаружил парадокс самостоятельно, есть доказательства того, что другие математики и разработчики теории множеств, включая Эрнста Цермело и Давида Гильберта, знали о первой версии противоречия раньше него. Рассел, однако, был первым, кто подробно обсудил парадокс в своих опубликованных работах, первым попытался сформулировать решения и первым в полной мере оценил его значимость. Целая глава «Принципов» была посвящена обсуждению этого вопроса, а приложение было посвящено теории типов, которую Рассел предложил в качестве решения.

Рассел обнаружил «парадокс лжеца», рассматривая теорему множеств Кантора, гласящую о том, что мощность любого множества меньше, чем множества его подмножеств. По крайней мере, в домене должно быть столько же подмножеств, сколько в нем есть элементов, если для каждого элемента одно подмножество будет множеством, содержащим только этот элемент. Кроме того, Кантор доказал, что число элементов не может быть равным числу подмножеств. Если бы их было одинаковое количество, то должна была бы существовать функция ƒ, которая бы отображала элементы на их подмножества. В то же время можно доказать, что это невозможно. Некоторые элементы могут отображаться функцией ƒ на подмножества, которые содержат их, тогда как другие не могут.

Рассмотрим подмножество элементов, не принадлежащих своим образам, в которые их отображает ƒ. Оно само по себе является подмножеством элементов, и, следовательно, функция ƒ должна была бы отобразить его на некоторый элемент в домене. Проблема заключается в том, что тогда возникает вопрос о том, принадлежит ли этот элемент подмножеству, на которое его отображает ƒ. Это возможно только в том случае, если он не принадлежит. Парадокс Рассела можно рассматривать как пример такой же линии рассуждений, только упрощенный. Чего больше – множеств или подмножеств множеств? Казалось бы, что должно быть больше множеств, так как все подмножества множеств сами являются множествами. Но если теорема Кантора верна, то должно существовать больше подмножеств. Рассел рассматривал простейшее отображение множеств на самих себя и применил канторианский подход рассмотрения множества всех этих элементов, не входящих во множества, в которые они отображаются. Отображение Рассела становится множеством всех множеств, в себя не входящих.

О консерватизме свойств

Другим возможным решением парадокса свойств является отрицание существования свойства в соответствии с любыми заданными условиями или хорошо сформированным предикатом. Конечно, если кто-то сторонится метафизических свойств как объективных и независимых элементов в целом, то, если принять номинализм, парадокса можно полностью избежать.

Однако для решения антиномии не нужно быть столь экстремальным. Логические системы высшего порядка, разработанные Фреге и Расселом, содержали, что называется, понятийный принцип, согласно которому для каждой открытой формулы, независимо от того, насколько она сложна, существует как элемент свойство или понятие на примере только тех вещей, которые удовлетворяют формуле. Они применялись к атрибутам любого возможного набора условий или предикатов, независимо от того, насколько они были сложными.

Тем не менее можно было бы принять более строгую метафизику свойств, предоставляя право объективного существования простым свойствам, включая, например, такие как красный цвет, твердость, доброта и т. д. Можно даже позволить этим свойствам применяться к самим себе, например, доброта может быть доброй.

А тот же статус для сложных атрибутов можно отрицать, например, для таких «свойств», как иметь-семнадцать-голов, быть-написанным-под-водой и т. д. В этом случае никакое заданное условие не соответствует свойству, понимаемому как отдельно существующий элемент, который обладает своими собственными свойствами. Таким образом можно отрицать существование простого свойства быть-свойством-которое-не-применимо-к-себе и избежать парадокса путем применения более консервативной метафизики свойств.

Рассмотрение с нестрогими условиями Править

Формальная логика не может доказать или опровергнуть парадокс лжеца. Решение было дано Бертраном Расселом. Поскольку закон исключённого третьего неприменим для разрешения проблемы, Рассел использовал нестрогое условие «я лгу, но не всегда». Таким образом, парадокс перестаёт быть

Логика имеет дело с предикатами, а не проверкой их истинности: «Все критяне лжецы, я- критянин, значит я лжец. «Здесь всё логично. В » парадоксе» же смешано понятие истинности предикатов и истинности логического высказывания — здесь нет цепочки, требующей проверки логикой. Здесь есть несколько предикатов, а который из них истинен — не известно. Т.о. это софизм, т.е. неопределенность предикатов пытаются свалить на порочность самой логики.

То же касается и «парадокса Пиноккио». Вместо фразы: » У меня сейчас вырастет нос», можно дать другую, истинность которой также будет непонятна для нас, и мы столкнёмся с неразрешимой задачей. И причём здесь логический парадокс , если это неопределённость предиката, истинность которого мы не обсуждаем. Соврал он или не соврал — это данность. Когда это определит ( с помощью дополнительных условий) тот, кто, например, решил удлинять нос, тогда и можно будет делать логический вывод. Можно сказать и так: тот кто решил удлинять нос Пиноккио, ставил не логическую задачу и выходить из положения он будет в рамках своих отношений с Пиноккио. Например, не ясно, что такое » сейчас» …» Когда сейчас? Пиноккио сначала надо поймать на лжи — это задача ТОГО, кто » растит» ему нос. И для НЕГО это — не логический парадокс. Т.о, фраза Пиноккио — не предикат, а, следовательно, и нет повода для логического вывода.

Примечания

1. ↑ Godehard Link (2004), One hundred years of Russell’s paradox, с. 350, ISBN 9783110174380, <http://books.google.com/?id=Xg6QpedPpcsC&pg=PA350> 
2. ↑ Антиномия Рассела // Словарь по логике Ивин А. А., Никифоров А. Л. — М.: Туманит, ВЛАДОС, 1997. — 384 с — ISBN 5-691-00099-3
3. ↑ 1 2 Антиномия — статья из Математической энциклопедии. А. Г. Драгалин
4. ↑ 1 2 3 А. С. Герасимов. Курс математической логики и теории вычислимости. — Издание третье, исправленное и дополненное. — Санкт-Петербург: ЛЕМА, 2011. — С. 124-126. — 284 с.
5. ↑ Andrew David Irvine, Harry Deutsch Russell’s Paradox // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. — 2014-01-01.
6. ↑ 1 2 3 4 Рассел, Бертран. The Philosophy of Logical Atomism. — P. 101-104. — ISBN 0-203-86477-8.
7. ↑ 1 2 3 4 5 Основания теории множеств / А. А. Френкель, И. Бар-Хиллел. — М.: Мир, 1966. — C. 17-18, 175, 180
8. ↑ 1 2 Мартин Гарднер. А ну-ка, догадайся! = Aha! Gotcha. Paradoxes to puzzle and delight. — М.: Мир, 1984. — С. 22-23. — 213 с.
9. ↑ И. В. Ященко. Парадоксы теории множеств. — М.: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2012. — С. 5. — (Библиотека «Математическое просвещение» Выпуск 20). — ISBN 5-94057-003-8.
10. ↑ J. Bell. The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development. — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. — С. 200. — 260 с. — ISBN 9789401142090.
11. ↑ Godehard Link. One Hundred Years of Russell’s Paradox: Mathematics, Logic, Philosophy. — Walter de Gruyter, 2004. — С. 350. — 672 с. — ISBN 9783110174380.
12. ↑ Bertrand Russel. Introduction to Mathematical Philosophy. — 1920. — С. 136.
13. ↑ Michael Beaney. The Frege Reader. — Wiley, 1997-07-07. — С. 253. — 430 с. — ISBN 9780631194453.
14. ↑ Briefwechsel mit Bertrand Russell. Bibliotheca Augustana. Проверено 28 июня 2016.
15. ↑ Е. Синицын, О.Синицына. Тайна творчества гениев.
16. ↑ Gottlob Frege: Grundlagen der Arithmetik, II, 1903, Anhang S. 253-261.
17. ↑ John P. Burgess. Fixing Frege. — Princeton University Press, 2005. — С. 32-33. — 276 с. — ISBN 0691122318.
18. ↑ E. Zermelo Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung. (нем.) // Mathematische Annalen. — 1908. — Bd. 65. — S. 118-119. — ISSN 0025-5831.
19. ↑ B. Rang and W. Thomas Zermelo’s discovery of the «Russell Paradox» (англ.) // Historia Mathematica. — 1981. — Vol. 8, no. 1. — P. 15-22. — DOI:10.1016/0315-0860(81)90002-1.
20. ↑ Суровцев, Валерий Александрович О простой теории типов Б. Рассела (предисловие к публикации) // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. — 2008. — Вып. 1 (2). — ISSN 1998-863X.
21. ↑ 1 2 X. Логицизм против интуиционизма // Клайн, Морис Математика. Утрата определённости — 1980. — ISBN 0-19-502754-X
    <a href=»https://wikidata.org/wiki/Track:Q222850″></a><a href=»https://wikidata.org/wiki/Track:Q6786880″></a>
22. ↑ M. Foreman, A. Kanamori. Handbook of Set Theory.
23. ↑ П. С. Новиков Аксиоматический метод. Математическая энциклопедия.
24. ↑ D.C. Goldrei. Classic Set Theory: A Guided Independent Study
25. ↑ Antonius J. C. Hurkens. A simplification of Girard’s paradox // Typed Lambda Calculi and Applications. — 1995-04-10. — Vol. 902. — P. 266-278. — (Lecture Notes in Computer Science). — DOI:10.1007/BFb0014058

Влияние на математику

Аксиоматизация математики

Парадокс Рассела, вместе с другими математическими антиномиями, открытыми в начале XX века, стимулировал пересмотр оснований математики, результатом которого явилось построение аксиоматических теорий для обоснования математики, некоторые из которых упомянуты выше.

Во всех построенных новых аксиоматических теориях парадоксы, известные к середине XX века (в том числе парадокс Рассела), были устранены. Однако доказать, что новые подобные парадоксы не могут быть обнаружены в будущем (в этом состоит проблема непротиворечивости построенных аксиоматических теорий), оказалось, в современном понимании этой задачи, невозможно (см. Теоремы Гёделя о неполноте).

Интуиционизм

Параллельно возникло новое течение в математике, называемое интуиционизмом, основателем которого является Л. Э. Я. Брауэр. Интуиционизм возник независимо от парадокса Рассела и других антиномий. Однако открытие антиномий в теории множеств усилило недоверие интуиционистов к логическим принципам и ускорило формирование интуиционизма. Основной тезис интуиционизма говорит, что для доказательства существования некоторого объекта необходимо предъявить способ его построения. Интуиционисты отвергают такие абстрактные понятия, как множество всех множеств. Интуиционизм отрицает закон исключенного третьего, впрочем, необходимо отметить, что закон исключенного третьего не нужен для вывода противоречия из антиномии Рассела или любой другой (в любой доказывается, что A{\displaystyle A} влечёт отрицание A{\displaystyle A} и отрицание A{\displaystyle A} влечёт A,{\displaystyle A,} однако из (A⇒¬A)&(¬A⇒A){\displaystyle (A\Rightarrow \neg A)\&(\neg A\Rightarrow A)} даже в интуиционисткой логике следует противоречие). Стоит также отметить, что в более поздних аксиоматизациях интуиционисткой математики были обнаружены парадоксы, аналогичные расселовскому, как, например, в первоначальной формулировке Мартина-Лёфа.

Диагональный аргумент Кантора: Каждое множество записывается как последовательность 0 и 1, где 1 на месте x{\displaystyle x} значит, что x{\displaystyle x} является элементом множества. Красным выделена последовательность на диагонали. Последовательность s{\displaystyle s} является дополнением этой последовательности: s(x)=1−sx(x){\displaystyle s(x)=1-s_{x}(x)}. Тогда s{\displaystyle s} отличается от всех sx{\displaystyle s_{x}} хотя бы в одном месте (а именно — в месте x{\displaystyle x}).

Диагональный аргумент (самоприменимость)

Основная статья: Диагональный аргумент

Несмотря на то что рассуждения Рассела приводят к парадоксу, основная идея этого рассуждения часто используется в доказательстве математических теорем.
Как было уже сказано выше, Рассел получил свой парадокс, анализируя доказательство Кантора о несуществовании наибольшего кардинального числа. Этот факт противоречит существованию множества всех множеств, так как его мощность должна быть максимальной. Тем не менее, по теореме Кантора, множество всех подмножеств данного множества имеет бо́льшую мощность, чем само множество. Доказательство этого факта основано на следующем диагональном аргументе:

Пусть есть взаимнооднозначное соответствие, которое каждому элементу x{\displaystyle x} множества X{\displaystyle X} ставит в соответствие подмножество sx{\displaystyle s_{x}} множества X.{\displaystyle X.} Пусть d{\displaystyle d} будет множеством, состоящим из элементов x{\displaystyle x} таких, что x∈sx{\displaystyle x\in s_{x}} (диагональное множество). Тогда дополнение этого множества s=d¯{\displaystyle s={\overline {d}}} не может быть ни одним из sx.{\displaystyle s_{x}.} А следовательно, соответствие было не взаимнооднозначным.

Кантор использовал диагональный аргумент при доказательстве несчётности действительных чисел в 1891 году. (Это не первое его доказательство несчётности действительных чисел, но наиболее простое).

Парадокс Кантора получается, если применить этот аргумент к множеству всех множеств.
Фактически расселовское множество есть диагональное множество Кантора s{\displaystyle s}.
Диагональный аргумент использовался до Рассела и Кантора (он употреблялся ещё в работеДюбуа-Реймона по математическому анализу в 1875 году).
Однако в парадоксе Рассела диагональный аргумент наиболее чётко выкристаллизован.

Диагональный аргумент использовался во многих областях математики. Так, например, он является центральным аргументом в теореме Гёделя о неполноте, в доказательстве существования неразрешимого перечислимого множества и, в частности, в доказательстве неразрешимости проблемы остановки.