Уроки 27 — 30предикаты и кванторы. логические элементы компьютера. логические задачи§23. предикаты и кванторы. §24. логические элементы компьютера. §25. логические задачи

Введение в понятие

Пусть на множестве X{\displaystyle X} простых чисел задан предикат P(x){\displaystyle P(x)}: «Простое число x{\displaystyle x} нечётно». Подставим перед этим предикатом слово «любое». Получим ложное высказывание «любое простое число x{\displaystyle x} нечётно» (это высказывание ложно, так как 2 — простое чётное число).

Подставив перед данным предикатом P(x){\displaystyle P(x)} слово «существует», получим истинное высказывание «Существует простое число x{\displaystyle x}, являющееся нечётным» (например, x=3{\displaystyle x=3}).

Таким образом, превратить предикат в высказывание можно, поставив перед предикатом слова («все», «существует» и другие), называемые в логике кванторами.

Предикат в математике

В математической логике предикат обычно понимается как функция P: X → {правда, ложь}, называемая предикатом X. Однако предикаты имеют много разных применений и интерпретаций в математике и логике, и их точное определение, смысл и использование будут варьироваться от теории к теории. Так, например, если теория определяет понятие отношения, то предикат является просто характеристической функцией, иначе известной как индикаторная функция отношения. Однако не все теории имеют отношения или основаны на теории множеств, поэтому нужно быть осторожным с правильным определением и семантической интерпретацией предиката.

Определение

В логике и лингвистике предикат — это сказуемое суждения, то есть то, что высказано с отрицанием или утверждением о субъекте. Такие слова показывают отсутствие или наличие у предмета того или иного признака. С точки зрения лингвистики, говорится о семантических и синтаксических предикатах. Последний — элемент поверхности структуры, то есть сказуемое, а первый является ядром семантической конфигурации, отображающей ситуацию вне языка, то есть её ядерную семантему.

Таким же образом семантический предикат представляется самыми разными способами и на уровне поверхности структуры. Взаимного однозначного соответствия между этими двумя типами предикатов нет, поскольку любым из них можно отразить одну и ту же ситуацию. Например: я ставлю лапти в угол; я поставила лапти в угол; поставленные в угол лапти. Традиционно не имеющая решения задача языкознания относится к определению понятия предиката. Положительный ответ был бы существенным для развития концепции — семантической или синтаксической, однако предикат пока не получил однозначного определения.

В современных теориях синтаксиса

Большинство современных теорий синтаксиса и грамматики берут свое начало в теории исчисления предикатов, связанных с Готлобом Фреге. Это понимание видит предикаты как отношения или функции, стоящие над аргументами. Они служат либо для назначения свойства одному аргументу, либо для связи двух или более аргументов друг с другом. Предложения состоят из предикатов и их аргументов (и дополнений) и являются, таким образом, структурами предикатного аргумента. В соответствии с ними данный П рассматривается как связывание его аргументов с большей структурой.

Предикаты помещаются слева за пределами скобок, тогда как их аргументы помещаются внутри скобок. Один признает валентность предикатов, в соответствии с которым он может быть доступен (не показан), моновалентный, двухвалентный или трехвалентный. Эти типы представлений аналогичны формальным семантическим анализам, где речь идет о надлежащем учете фактов кванторов и логических операторов. Однако в отношении основной структуры предложения эти представления предполагают прежде всего, что глаголы являются предикатами, а фразы существительных, с которыми они появляются, являются их аргументами. При таком понимании предложения двоичное деление предложения на предмет NP и предикат VP вряд ли возможно. Вместо этого глагол является предикатом, а существительные — его аргументами.

Класс

– это функциональный интерфейс. Это означает, что мы можем передавать лямбда-выражения везде, где ожидается предикат. Например, одним из таких методов является метод из интерфейса Stream.

/**
 * Returns a stream consisting of the elements of this stream that match
 * the given predicate.
 *
 * <p>This is an <a href="package-summary.html#StreamOps">intermediate
 * operation</a>.
 *
 * @param predicate a non-interfering stateless predicate to apply to each element to determine if it
 * should be included in the new returned stream.
 * @return the new stream
 */
Stream<T> filter(Predicate<? super T> predicate);

Мы можем принять поток в качестве механизма для создания последовательности элементов, поддерживающих последовательные и параллельные агрегатные операции. Это означает, что можем в любое время собрать и выполнить некоторые операции всех элементов, присутствующих в потоке, за один вызов.

Итак, по сути мы можем использовать поток и предикат чтобы  –

• сначала отфильтровать определенные элементы из группы, и
• затем выполнить некоторую операцию с отфильтрованными элементами.

Основные логические символы

Операции над предикатами

Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения: истинное и ложное, поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.
Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

Логические операции

Конъюнкцией двух предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат A(x)∧B(x){\displaystyle A\left(x\right)\wedge B\left(x\right)}, который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х из Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.
Множеством истинности Т предиката A(x)∧B(x){\displaystyle A\left(x\right)\wedge B\left(x\right)} является пересечение множеств истинности предикатов A(x) — T1 и B(x) — T2, то есть T = T1 ∩ T2.
Например: A(x): «x — чётное число», B(x): «x кратно 3».
A(x) B(x) — «x — чётное число и x кратно 3».
То есть предикат «x делится на 6».

Дизъюнкцией двух предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат A(x)∨B(x){\displaystyle A\left(x\right)\vee B\left(x\right)}, который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях x из T, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.
Областью истинности предиката A(x)∨B(x){\displaystyle A\left(x\right)\vee B\left(x\right)} является объединение областей истинности предикатов A(x) и B(x).

Отрицанием предиката A(x) называется новый предикат, который принимает значение «истина» при всех значениях x из T, при которых предикат A(x) принимает значение «ложь», если A(x) принимает значение «истина».

Множеством истинности предиката x X является дополнение T’ к множеству T в множестве X.

Импликацией предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат A(x)⇒B(x){\displaystyle A\left(x\right)\Rightarrow B\left(x\right)}, который является ложным при тех и только тех значениях x из T, при которых A(x) принимает значение «истина», а B(x) — значение «ложь», и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.
Читают: «Если A(x), то B(x)».

Например. A(x): «Натуральное число x делится на 3». B(x): «Натуральное число x делится на 4», можно составить предикат: «Если натуральное число x делится на 3, то оно делится и на 4».
Множеством истинности предиката A(x)⇒B(x){\displaystyle A\left(x\right)\Rightarrow B\left(x\right)} является объединение множества T2 — истинности предиката B(x) и дополнения к множеству T1 истинности предиката A(x).

Кванторные операции

• Квантор всеобщности ∀{\displaystyle \forall }
• Квантор существования ∃{\displaystyle \exists }
• Квантор существования по переменной x{\displaystyle x}₁

Примеры

Обозначим предикатом EQ(x,y){\displaystyle EQ(x,y)} отношение равенства («x=y{\displaystyle x=y}»), где x{\displaystyle x} и y{\displaystyle y} принадлежат R{\displaystyle R} (множеству вещественных чисел). В этом случае предикат EQ{\displaystyle EQ} будет принимать истинное значение для всех равных x{\displaystyle x} и y{\displaystyle y}.

Более житейским примером может служить предикат ПРОЖИВАЕТ(x,y,z){\displaystyle (x,y,z)} для отношения «x{\displaystyle x} проживает в городе y{\displaystyle y} на улице z{\displaystyle z}» или ЛЮБИТ(x,y){\displaystyle (x,y)} для «x{\displaystyle x} любит y{\displaystyle y}» для x{\displaystyle x} и y{\displaystyle y} принадлежащих M{\displaystyle M} , где множество M{\displaystyle M} — это множество всех людей.

Предикат — это то, что утверждается или отрицается о субъекте суждения.

Литература

1. Henkin, L. (1950). «Completeness in the theory of types». Journal of Symbolic Logic 15 (2): 81-91.
2. Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.
3. Shapiro, S. (2000). Foundations without Foundationalism: A Case for Second-order Logic. Oxford University Press. ISBN 0-19-825029-0.
4. Rossberg, M. (2004). «First-Order Logic, Second-Order Logic, and Completeness». in V. Hendricks et al., eds.. First-order logic revisited. Berlin: Logos-Verlag.
5. Vaananen, J. (2001). «Second-Order Logic and Foundations of Mathematics». Bulletin of Symbolic Logic 7 (4): 504—520.

Субъект и предикат

Предикат является одной из двух основных частей предложения (другой — субъект, который предикат модифицирует). Он должен содержать глагол, и глагол требует или разрешает другим элементам заполнять предикат.

Предикат предоставляет информацию о предмете: чем он является, что делает субъект, или что такое объект. Связь между субъектом и его предикатом иногда называется языком предикатов. Его номинал — это существительная фраза. Например, в фразе «Джордж III — король Англии», король Англии является предикативным номиналом. Субъект и предикативный номинал должны быть соединены связующим глаголом, также называемым копулой. Субъект и предикативное прилагательное также должны быть связаны связкой.

Интерпретация

В классическом случае интерпретация формул логики первого порядка задаётся на модели первого порядка, которая определяется следующими данными:

• Несущее множество D{\displaystyle {\mathcal {D}}},
• Семантическая функция σ{\displaystyle \sigma }, отображающая
  • каждый n{\displaystyle n}-арный функциональный символ f{\displaystyle f} из F{\displaystyle {\mathcal {F}}} в n{\displaystyle n}-арную функцию σ(f)D×…×D→D{\displaystyle \sigma (f)\colon \,{\mathcal {D}}\times \ldots \times {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {D}}},
  • каждый n{\displaystyle n}-арный предикатный символ p{\displaystyle p} из P{\displaystyle {\mathcal {P}}} в n{\displaystyle n}-арное отношение σ(p)⊆D×…×D{\displaystyle \sigma (p)\subseteq {\mathcal {D}}\times \ldots \times {\mathcal {D}}}.

Обычно принято отождествлять несущее множество D{\displaystyle {\mathcal {D}}} и саму модель, подразумевая неявно семантическую функцию, если это не ведёт к неоднозначности.

Предположим, s{\displaystyle s} — функция, отображающая каждую переменную в некоторый элемент из D{\displaystyle {\mathcal {D}}}, которую мы будем называть подстановкой. Интерпретация ts{\displaystyle \!]_{s}} терма t{\displaystyle t} на D{\displaystyle {\mathcal {D}}} относительно подстановки s{\displaystyle s} задаётся индуктивно:

1. xs=s(x){\displaystyle \!]_{s}=s(x)}, если x{\displaystyle x} — переменная,
2. f(x1,…,xn)s=σ(f)(x1s,…,xns){\displaystyle \!]_{s}=\sigma (f)(\!]_{s},\ldots ,\!]_{s})}

В таком же духе определяется отношение истинности ⊨s{\displaystyle \models _{s}} формул на D{\displaystyle {\mathcal {D}}} относительно s{\displaystyle s}:

• D⊨sp(t1,…,tn){\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}p(t_{1},\ldots ,t_{n})}, тогда и только тогда, когда σ(p)(t1s,…,tns){\displaystyle \sigma (p)(\!]_{s},\ldots ,\!]_{s})},
• D⊨s¬ϕ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\neg \phi }, тогда и только тогда, когда D⊨sϕ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\phi } — ложно,
• D⊨sϕ∧ψ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\phi \land \psi }, тогда и только тогда, когда D⊨sϕ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\phi } и D⊨sψ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\psi } истинны,
• D⊨sϕ∨ψ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\phi \lor \psi }, тогда и только тогда, когда D⊨sϕ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\phi } или D⊨sψ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\psi } истинно,
• D⊨sϕ→ψ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\phi \to \psi }, тогда и только тогда, когда D⊨sϕ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\phi } влечёт D⊨sψ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\psi },
• D⊨s∃xϕ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\exists x\,\phi }, тогда и только тогда, когда D⊨s′ϕ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s’}\phi } для некоторой подстановки s′{\displaystyle s’}, которая отличается от s{\displaystyle s} только значением на переменной x{\displaystyle x},
• D⊨s∀xϕ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\forall x\,\phi }, тогда и только тогда, когда D⊨s′ϕ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s’}\phi } для всех подстановок s′{\displaystyle s’}, которые отличается от s{\displaystyle s} только значением на переменной x{\displaystyle x}.

Формула ϕ{\displaystyle \phi } истинна на D{\displaystyle {\mathcal {D}}} (что обозначается как D⊨ϕ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models \phi }), если D⊨sϕ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models _{s}\phi } для всех подстановок s{\displaystyle s}. Формула ϕ{\displaystyle \phi } называется общезначимой (что обозначается как ⊨ϕ{\displaystyle \models \phi }), если D⊨ϕ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models \phi } для всех моделей D{\displaystyle {\mathcal {D}}}. Формула ϕ{\displaystyle \phi } называется выполнимой, если D⊨ϕ{\displaystyle {\mathcal {D}}\models \phi } хотя бы для одной D{\displaystyle {\mathcal {D}}}.

Свойства объектов

Предикаты в математической логике также широко используются, чтобы говорить о свойствах объектов, определяя набор всех объектов, имеющих общее свойство. Так, например, когда P является предикатом X, иногда можно сказать, что P является свойством X. Аналогично, обозначение P (x) используется для обозначения предложения или утверждения P относительно объекта переменной Х. Множество, определенное P (x), записывается как {x | P (x)} и является множеством объектов, для которых P истинно.

Например, {x | x — натуральное число, меньшее 4} — множество {1,2,3}.

Если t — элемент множества {x | P (x)}, то утверждение P (t) истинно.

Здесь P (x) называется предикатом, а x — заполнителем предложения. Иногда P (x) также называется пропозициональной функцией, так как каждый выбор с Х создает предложение.

Простым видом предиката (П) является булево выражение, и в этом случае входы в выражение сами являются значениями, объединенными с использованием булевых операций. Булево выражение со множеством истинности предиката является более сложным явлением.

Понятие

Далеко не любая информация о субъекте может быть обозначена этим термином. Понять, что такое предикат, можно, предварительно разобравшись, какие к нему предъявляются семантические требования. Если указывается признак предмета, а также состояние его вместе с отношением к другим предметам, тогда можно использовать этот термин. Само подчеркивание существования или бытия в обычном значении этого слова не ответит на вопрос о том, что такое предикат, поскольку нет в нём суждения. Например: единорогов не существует; это вишня; миндаль — не орех. Во всех этих указаниях на предметы предиката нет.

Современные направления логики часто заменяют понятие предиката другим, называемым пропозициональной функцией, где основными аргументами являются актанты — объект и субъект. Терминологического смешения в грамматических и логических категориях избежать не удалось, однако в лингвистическом обиходе рассматриваемый нами термин используется всегда. К примеру, термины-предикаты типа сказуемого ассоциируются в формальном аспекте данного члена предложения. Они могут быть именными, глагольными и так далее. В то время как определение предиката выражается в его содержательном аспекте.

Другая классификация

Можно классифицировать данные слова и на других основаниях. Тип субъекта играет определяющую роль: низшего порядка предикаты относятся к сущностям материальным, а высшего — характеризуют разнообразные виды объектов нематериальных. Здесь резко противопоставляются два вида: относящиеся к событию и характеризующие пропозицию, инвариант. Например: лапти порвались только вчера — лапти порвались, но вчера — очень сомнительно.

Далее, по этой классификации, нужно делить предикаты по количеству актантов. Одноместные: лапти — легки; кедр — мощный; двухместные: лапти легки на ногах; кедр закрыл солнце; трёхместные: лапти легки на ногах при ходьбе; кедр закрыл солнце для подлеска. Другим образом можно разделить предикаты на первопорядковые (непроизводные — кедр стоит); второго порядка (являющиеся производными от первых — кедр стойкий); третьего порядка (производные от вторых) и так далее.

Структура

Итак, структура предиката может быть поверхностной и исходной. Однако состав синтаксических групп не отражает ни порядка слов, ни залога — пассивного или активного. Например: дуб растёт тысячу лет; тысячу лет растёт дуб; растёт дуб тысячу лет. Все эти предложения имеют тождественные составляющие предиката в их исходной структуре.

Однако исходные структуры со всей их близостью не всегда бывают связаны с поверхностными структурами семантической эквивалентностью. Логику предиката не всякий раз можно сводить к одной интерпретации, даже если составляющие соотносятся по залогу. Например:

• Новые деревья выращены в старом саду.
• В старом саду были выращены новые деревья.

Не правда ли, в одни и те же слова при ближайшем рассмотрении вкладывается несколько разный смысл?

Компоненты

В семантической структуре предложения имеются собственные категории. Это предикаты, передающие состояние или конкретное действие, актанты — субъекты действия или объекты разного рода (прямые, косвенные, результативы и так далее), сирконстанты — различные обстоятельства как поле совершения действий.

Например: Ночью в окно стучало дерево ветками. Детализация здесь, можно сказать, максимальная. Предикатом активного действия будет слово «стучало». Далее идут актанты: субъект — «дерево», объект — «в окно», инструментатив — «ветками». Сирконстантой (или темпоративом, или обстоятельством времени) выступает слово «ночью». Но может появиться и вторая, локативная — «с улицы», например.

Типы предикатов

Среди семантических типов выделяют таксономические, реляционные, оценочные, характеризующие. Таксономические указывают на класс предмета. Например: любимая обувь — лапти; выросшее дерево — кедр; новое кино — фэнтези. Реляционный предикат — значение указания на то, каким образом один объект относится к другим. Например: на лапти идёт лыко; кедр — из семейства сосновых; фэнтези — жанр фантастики. Характеризующие предикаты указывают на признаки объекта статические или динамические, преходящие или постоянные. Например: лапти износились; кедр растёт; фэнтези увлекает.

Особое внимание нужно уделить типу, который называется предикатом оценочным. Например: лапти — обувь экологичная; кедры очень красивы; фэнтези погружают зрителя в сказку

Существуют и слова-предикаты, относящиеся к типу пространственной и временно́й локализации. Например: лапти в ящике; кедровые шишки будут в сентябре; фэнтези читаю дома. Нужно помнить, что определить тип предиката не так просто именно потому, что в языке разные типы их представлены чаще всего синкретически. То есть одним глаголом может быть выражено не только одно отношение предметов друг к другу, но одновременно и характеристики, и локализации.

Определение

Предика́т (n{\displaystyle n}-местный, или n{\displaystyle n}-арный) — это функция с множеством значений {,1}{\displaystyle \{0,1\}} (или {ложь, истина}), определённая на множестве M=M1×M2×…×Mn{\displaystyle M={{M}_{1}}\times {{M}_{2}}\times \ldots \times {{M}_{n}}}. Таким образом, каждый набор элементов множества M{\displaystyle M} характеризуется либо как «истинный», либо как «ложный».

Предикат можно связать с математическим отношением: если кортеж (m1,m2,…,mn){\displaystyle (m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})} принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на ней 1. В частности, одноместный предикат определяет отношение принадлежности некоторому множеству.

Предикат — один из элементов логики первого и высших порядков. Начиная с логики второго порядка, в формулах можно ставить кванторы по предикатам.

Предикат называют тождественно-истинным и пишут:

P(x1,…,xn)≡1{\displaystyle P\left(x_{1},…,x_{n}\right)\equiv 1}

если на любом наборе аргументов он принимает значение 1{\displaystyle 1}.

Предикат называют тождественно-ложным и пишут:

P(x1,…,xn)≡{\displaystyle P\left(x_{1},…,x_{n}\right)\equiv 0}

если на любом наборе аргументов он принимает значение {\displaystyle 0}.

Предикат называют выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение 1{\displaystyle 1}.

Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все операции булевой алгебры, например: отрицание, импликация, конъюнкция, дизъюнкция и т. д.

Концепции

В терминологии понятие «предикат» базисным не является, а потому и определять его нужно, сверяясь с конфигурацией синтаксического представления. Предикатной составляющей является обычно та, что имеет глагольную группу. Говоря неформально, всё относящееся к глаголу личной формы и составляющее с ним единую синтаксическую группу, и есть предикатная составляющая.

В частности, в её состав входят и вспомогательные элементы (составляющая вспомогательного глагола). Предикат вкупе с субъектом исчерпывает полностью в предложении его синтаксическую структуру. И тут же каждая из этих составляющих может дробиться на более простые. В этой концепции различают уровни — поверхностный и исходный, тогда присутствие осложнений будет сведено к минимуму.

Составляющие

Предикаты составлены по семантическому принципу таким образом: собственно предикаты (например — состояния) и актанты (участники события). Семантически актанты тоже имеют разделение на типы:

• Субъект (иначе — агенс) — это субъектного типа актант или активное действующее лицо. Например: дерево растёт.
• Объект — это адресат прямого или косвенного действия, подвергающийся или нет прямому воздействию. Например: кошка ловит мышку.
• Инстументатив — предмет, без которого ситуация не может осуществиться. Например: наелись супом.
• Результатив — обозначение результата совершённых действий. Например: весной выросла трава.

Кроме того, не обойтись и без сирконстант — обстоятельств совершения действий. Они тоже разделяются на группы. Две самые частые и основные — темпоратив и локатив. Например: весной становится тепло. Слово «весной» — темпоратив. Повсюду расцветает сирень. Слово «повсюду» — локатив.

В традиционной грамматике

Понятие П в традиционной грамматике вдохновлено пропозициональной логикой древности (в отличие от более современной логики предикатов). Предикат рассматривается как свойство, которое субъект имеет. Следовательно, предикат является выражением, которое может быть истинным. Таким образом, выражение «движется» верно для всего, что движется. Это дает ответ на вопрос, что такое предикат.

Такое классическое понимание предикатов было принято более или менее непосредственно в латинской и греческой грамматиках, и оттуда оно попало в грамматику английского и русского языков, где применяется непосредственно к анализу структуры предложения. Это понимание П также используется в англоязычных словарях.

Законы алгебры предикатов

Для предикатов справедливы все законы, аналогичные законам алгебры логики высказываний1.

В случае тождественно истинных и тождественно ложных предикатов имеем следующие определения.

Предикат %%P(x_1, x_2, \ldots, x_n)%% называется тождественно истинным если при любой замене переменных %%x_1, x_2, \ldots, x_n%% на их значения предикат превращается в истинное высказывание.

Предикат %%P(x_1, x_2, \ldots, x_n)%% называется тождественно ложным если при любой замене переменных %%x_1, x_2, \ldots, x_n%% на их значения предикат превращается в ложное высказывание.

Высказывание является частным случаем предиката, когда в предикате нет переменных. То есть высказывание является предикатом %%0%% порядка (от %%0%% переменных).

1. Законы алгебры логики высказываний.

Правда или ложь

Если вам все еще непонятно, что такое предикат в математике, то стоит остановиться на этом подробнее. Неформально предикат — это утверждение, которое может быть истинным или ложным в зависимости от значений его переменных. Его можно рассматривать как оператора или функцию, которая возвращает значение, являющееся истинным или ложным. Например, предикаты иногда используются для указания набора элементов: при разговоре о наборах иногда бывает неудобно или невозможно описать набор, перечисляя все его элементы. Таким образом, предикат P (x) будет истинным или ложным, в зависимости от того, принадлежит ли x множеству.

В синтаксисе

Синтаксический П указывает синтаксическую обоснованность применения произведения в формальной грамматике и аналогичен семантическому предикату, который определяет семантическую действительность применения произведения. В своей первоначальной реализации синтаксические предикаты имели форму «(α)?» и могли появляться только на левом краю произведения. Необходимым синтаксическим условием α может быть любой допустимый контекстно-свободный фрагмент грамматики.

Более формально синтаксический предикат представляет собой форму производственного пересечения, используемого в спецификациях парсера или в формальных грамматиках. В этом смысле термин имеет значение математической функции индикатора. Если p1 и p2 являются производственными правилами, язык, сгенерированный как p1, так и p2, является их заданным пересечением.

Размышляющие грамматики выражений (PEGs), изобретенные Брайаном Фордом, расширяют эти простые П, позволяя им появляться где угодно в пределах производства наравне с «не предикатами». Более того, Форд изобрел процедуру разбора для обработки этих грамматик в линейном времени.

Этот подход реализуется в ANTLR версии 3, которая использует детерминированные конечные автоматы для просмотра. Это может потребовать тестирования предиката для выбора между синтаксическими переходами (так называемый «пред-LL (*)» синтаксический анализ).

Логическое подлежащее и логическое сказуемое

Логическое подлежащее — то, о чём говорится в предложении (высказывании), то, к чему относятся содержащиеся в предложениях утверждения или отрицания. Логическое сказуемое — содержащаяся в предложении (высказывании) информация о логическом подлежащем.

Роль логических подлежащих играют простые и сложные имена, роль логических сказуемых — предикаторы (или предикаты). К последним относятся свойства и отношения. Предикаторы выполняют роль предметно-истинностного отображения, давая предметам определённого класса оценку «истина» или «ложь». При этом свойства являются одноместными предикаторами, характеризуя один отдельный предмет, а отношения — многоместными, характеризуя пару, тройку и т. д. предметов. Само высказывание в случае с многоместным предикатором содержит несколько логических подлежащих.

Определение

Одноместным предикатом, определенным на множестве %%D%%, называется предложение с переменной, которое превращается в высказывание при замене этой переменной на ее значение из множества %%D%%. Одноместный предикат будем называть унарным или предикатом от одной переменной.

Примеры

Следующие предложения являются одноместными предикатами:

1. %%P(x): x^ 2 + 1 > 2%%, где %%D%% — множество действительных чисел.

2. %%Q(x):%% Длина отрезка равна %%1%%, где %%D%% — множество всех отрезков прямой.

Следующие предложения не являются одноместными предикатами:

1. %%1 > 2%%.

2. Прямая %%x%% параллельна прямой %%y%%.

История появления

Философы давно обращали внимание на логические операции, ограничивающие область истинности предиката, однако не выделяли их в отдельный класс операций. Так, Томас Гоббс считал, что они являются частями имён.. Хотя кванторно-логические конструкции широко используются как в научной, так и в обыденной речи, их формализация произошла только в  г., в книге Фреге «Исчисление понятий»

Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения ∃{\displaystyle \exists } для квантора существования (перевёрнутая первая буква англ. Exists — существует), предложенное Чарльзом Пирсом в  г., и ∀{\displaystyle \forall } для квантора общности (нем. Alle — «все», «всякий»), образованное Герхардом Генценом в  г. по аналогии с символом квантора существования. Термины «квантор», «квантификация» также предложил Пирс.

Хотя кванторно-логические конструкции широко используются как в научной, так и в обыденной речи, их формализация произошла только в  г., в книге Фреге «Исчисление понятий». Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения ∃{\displaystyle \exists } для квантора существования (перевёрнутая первая буква англ. Exists — существует), предложенное Чарльзом Пирсом в  г., и ∀{\displaystyle \forall } для квантора общности (нем. Alle[источник не указан 2241 день] — «все», «всякий»), образованное Герхардом Генценом в  г. по аналогии с символом квантора существования. Термины «квантор», «квантификация» также предложил Пирс.