Теория хаоса

Странные аттракторы

Большинство типов движения описывается простыми аттракторами, являющимися ограниченными циклами. Хаотическое движение описывается странными аттракторами, которые очень сложны и имеют много параметров. Например, простая трёхмерная система погоды описывается известным аттрактором Лоренца — одной из самых известных диаграмм хаотических систем, не только потому, что она была одной из первых, но и потому, что она одна из самых сложных. Другим таким аттрактором является аттрактор Рёсслера, которая имеет двойной период, подобно логистическому отображению.

Странные аттракторы появляются в обеих системах, и в непрерывных динамических (типа системы Лоренца) и в некоторых дискретных (например, отображение Эно). Некоторые дискретные динамические системы названы системами Жулиа по происхождению. И странные аттракторы, и системы Жулиа имеют типичную рекурсивную, фрактальную структуру.

Теорема Пуанкаре — Бендиксона доказывает, что странный аттрактор может возникнуть в непрерывной динамической системе, только если она имеет три или больше измерений. Однако это ограничение не работает для дискретных динамических систем. Дискретные двух- и даже одномерные системы могут иметь странные аттракторы. Движение трёх или большего количества тел, испытывающих гравитационное притяжение при некоторых начальных условиях может оказаться хаотическим движением.

Эти два графика демонстрируют чувствительную зависимость от первоначальных условий в пределах занятого аттрактором региона

Большинство типов движения описывается простыми аттракторами, являющимися ограниченными циклами. Хаотическое движение описывается странными аттракторами, которые очень сложны и имеют много параметров. Например, простая трёхмерная система погоды описывается известным аттрактором Лоренца — одной из самых известных диаграмм хаотических систем, не только потому, что она была одной из первых, но и потому, что она одна из самых сложных. Другим таким аттрактором является аттрактор Рёсслера, которая имеет двойной период, подобно логистическому отображению.

Странные аттракторы появляются в обеих системах, и в непрерывных динамических (типа системы Лоренца) и в некоторых дискретных (например, отображение Эно). Некоторые дискретные динамические системы названы системами Жулиа по происхождению. И странные аттракторы, и системы Жулиа имеют типичную рекурсивную, фрактальную структуру.

Теорема Пуанкаре — Бендиксона доказывает, что странный аттрактор может возникнуть в непрерывной динамической системе, только если она имеет три или больше измерений. Однако это ограничение не работает для дискретных динамических систем. Дискретные двух- и даже одномерные системы могут иметь странные аттракторы. Движение трёх или большего количества тел, испытывающих гравитационное притяжение при некоторых начальных условиях может оказаться хаотическим движением.

Создание

Первоначально на место режиссёра фильма был выбран Джек Бендер. Однако он ушёл с поста режиссёра из-за занятости на других проектах. Также к режиссуре фильма проявляли интерес Фернанду Мейреллиш и Сэм Рэйми.

На роль Кэти Мюллер рассматривались Эванджелин Лилли, Фелисити Джонс, Кейт Бекинсэйл и Джессика Бил.

В написании сценария участвовали Энтони Пекхэм и Стивен Заиллян, но их имена не стали указывать в титрах.

Съёмки начались в конце августа 2012 года и проходили на Уолл-стрит, в Большом Манчестере, Ливерпуле, Хатфилде (Хартфордшир), Биркенхеде, на британской киностудии Pinewood Studios, в Монреале, Доме Сената (Лондонский университет), Москве и Лондоне.

За интерьер храма Христа Спасителя в Москве выдан интерьер Вестминстерского собора в Лондоне.

Крис Пайн является четвёртым актёром, исполняющим роль Джека Райана, после Алека Болдуина, Харрисона Форда и Бена Аффлека.

Различия между случайными и хаотическими данными

Только по исходным данным трудно сказать, каким является наблюдаемый процесс — случайным или хаотическим, потому что практически не существует явного чистого «сигнала» отличия. Всегда будут некоторые помехи, даже если их округлять или не учитывать. Это значит, что любая система, даже если она детерминированная, будет содержать немного случайностей.

Чтобы отличить детерминированный процесс от стохастического, нужно знать, что детерминированная система всегда развивается по одному и тому же пути от данной отправной точки. Таким образом, чтобы проверить процесс на детерминизм необходимо:

1. Выбрать тестируемое состояние.
2. Найти несколько подобных или почти подобных состояний.
3. Сравнить их развитие во времени.

Погрешность определяется как различие между изменениями в тестируемом и подобном состояниях. Детерминированная система будет иметь очень маленькую погрешность (устойчивый, постоянный результат), или она будет увеличиваться по экспоненте со временем (хаос). Стохастическая система будет иметь беспорядочно распределённую погрешность.

По существу все методы определения детерминизма основываются на обнаружении состояний, самых близких к данному тестируемому (то есть, измерению корреляции, экспоненты Ляпунова, и т. д.). Чтобы определить состояние системы, обычно полагаются на пространственные методы определения стадии развития. Исследователь выбирает диапазон измерения и исследует развитие погрешности между двумя близлежащими состояниями. Если она выглядит случайной, тогда нужно увеличить диапазон, чтобы получить детерминированную погрешность. Кажется, что это сделать просто, но на деле это не так. Во-первых, сложность состоит в том, что, при увеличении диапазона измерения поиск близлежащего состояния требует намного большего количества времени для вычислений, чтобы найти подходящего претендента. Если диапазон измерения выбран слишком маленьким, то детерминированные данные могут выглядеть случайными, но если диапазон слишком большой, то этого не случится — метод будет работать.

Когда в нелинейную детерминированную систему вмешиваются внешние помехи, её траектория постоянно искажается. Более того, действия помех усиливаются из-за нелинейности, и система показывает полностью новые динамические свойства. Статистические испытания, пытающиеся отделить помехи от детерминированной основы или изолировать их, потерпели неудачу. При наличии взаимодействия между нелинейными детерминированными компонентами и помехами появляется динамика, которую традиционные испытания на нелинейность иногда не способны фиксировать.

Аттракторы

График аттрактора Лоренца для значений r = 28, σ = 10, b = 8/3

Аттра́ктор (от англ. attract — привлекать, притягивать) — множество состояний (точнее — точек фазового пространства) динамической системы, к которому она стремится с течением времени. Наиболее простыми вариантами аттрактора являются притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением) и периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), однако бывают и значительно более сложные примеры.

Некоторые динамические системы являются хаотическими всегда, но в большинстве случаев хаотическое поведение наблюдается только в тех случаях, когда параметры динамической системы принадлежат к некоторому специальному подпространству.

Наиболее интересны случаи хаотического поведения, когда большой набор первоначальных условий приводит к изменению на орбитах аттрактора.
Простой способ продемонстрировать хаотический аттрактор — это начать с точки в районе притяжения аттрактора и затем составить график его последующей орбиты. Из-за состояния топологической транзитивности это похоже на отображения картины полного конечного аттрактора.

Например, в системе, описывающей маятник, пространство двумерное и состоит из данных о положении и скорости. Можно составить график положений маятника и его скорости. Положение маятника в покое будет точкой, а один период колебаний будет выглядеть на графике как простая замкнутая кривая. График в форме замкнутой кривой называют орбитой. Маятник имеет бесконечное количество таких орбит, формируя по виду совокупность вложенных эллипсов.

Сюжет

Студент Джек Райан смотрит репортаж о теракте 11 сентября 2001 года. События переносят нас на несколько лет вперёд.

2003 год, Афганистан. Джек Райан уже дослужился до звания лейтенанта. Вертолёт вместе с ним и ещё двумя бойцами сбивают ракетой, из-за чего Джек получает серьёзные ранения. В военном госпитале он знакомится с медсестрой Кэти Мюллер и между ними завязывается роман.

Через несколько лет Джек и Кэти вместе и живут в квартире на Манхэттене. Кэти не знает, что Райан по заданию ЦРУ работает аудитором на Уолл-стрит, разыскивает подозрительные финансовые операции, указывающие на террористическую деятельность. Однажды Джек вычисляет, что русский миллионер Черевин (которого нанял министр внутренних дел России Сорокин) собирается понизить курс доллара в США, что приведёт страну ко временам Великой Депрессии. Джека посылают в Москву разузнать план Черевина. В Москве Райана встречает американский агент из Уганды. Однако по прибытии в отель агент оказывается предателем и собирается убить Джека, но тому удаётся утопить его в ванной. Джек звонит в ЦРУ и сообщает о нападении. Ночью он встречается с агентом Томасом Харпером и рассказывает ему о планах русских.

Утром Джек посещает офис Черевина и получает приглашения на ужин. Дабы разоблачить олигарха, Джеку придётся ещё раз проникнуть в его здание. Ночью он обнаруживает у себя в отеле Кэти, которая прилетела к мужу в Москву. Джеку приходится рассказать обо всём жене, и просит её уехать, однако Кэти отказывается. Харпер предлагает использовать девушку как отвлекающий манёвр, дабы Райан успел проникнуть в офис олигарха. Несмотря на все протесты Райана, Кэти соглашается.

Вечером следующего дня, герои встречаются с Виктором Черевиным. Пока Кэти отвлекает его разговорами, Джек проникает в офис олигарха. Виктор признаётся Кэти, что смертельно болен и врачи дают ему месяц. Джек успешно проникает в офис и крадёт данные Черевина.

Райан приходит к Виктору и Кэти и собирается уйти с женой, однако, Виктор начинает подозревать Джека. Райан, Харпер и Кэти встречаются с ещё одной группой агентов на паркинге. Джек готовится передать им данные, но в этот момент на паркинг прибывают Черевин со своими людьми и похищают Кэти. Джек отправляется за ним в погоню, а олигарх тем временем угрожает покалечить девушку, если Райан отдаст агентам информацию.

Джек догоняет Виктора и, устраивая ДТП, спасает Кэти. Герой вместе с Харпером, Кэти и группой агентов отправляются в США на самолёте ЦРУ. Райану удаётся идентифицировать сына Черевина, Александра, которого олигарх назвал мёртвым. Александр Черевин (Алек Утгофф) является «спящим агентом (англ.)русск.», который готовиться устроить в Нью-Йорке теракт, из-за которого упадёт курс доллара. По прибытии в Соединённые Штаты, Райан отправляет Кэти в больницу под охраной агентов.

Спецназ штурмует убежище «спящего агента (англ.)русск.», но находят там только банки от белой и синей краски. Это даёт понять, что террорист перекрасил свой автомобиль. Джек вместе с Харпером отправляются во многолюдное место на Манхэттене, где должен случиться теракт. Джек обнаруживает фургон с немного размытой краской, замаскированный под полицейский автомобиль. Джек разоблачает злодея, следует за ним на мотоцикле. Фургон заезжает в водохранилище под Манхэттеном, где Джек вступает в схватку с сыном Черевина. Райану удаётся «выбросить» злодея из автомобиля и выехать из водохранилища. Однако «спящий агент (англ.)русск.» залезает в фургон и собирается помешать Джеку, но герой выпрыгивает из фургона. Фургон падает в воду вместе с сыном Черевина, который взрывается вместе с террористом. Теракт предотвращён.

В финале Черевина вызывает к себе Сорокин. Черевин говорит: «Я делал всё это ради своей страны», на что Сорокин отвечает: «И это тоже» и выстрелом из пистолета убивает Виктора. Джек едет в больницу к Кэти, где они обнимаются.

Основные принципы.

Для изучения хаоса используют общие математические принципы и компьютерное моделирование. Фундаментальной характеристикой всякой динамической системы является итерация, т.е. результат повторного (многократного) применения одного и того же математического правила к некоторому выбранному состоянию. Состояние обычно описывается числом или набором чисел, но это может быть также геометрическая фигура или конфигурация. Например, пусть правилом будет «разделить на два». Начав с исходного состояния, задаваемого числом 1, это правило дает итерации 1/2, 1/4, 1/8,…, образующие очевидную закономерную последовательность. Правило «возвести в квадрат и вычесть единицу», примененное к 0, дает последовательность –1, 0, –1, 0,…, которая циклически и неограниченно скачет между числами 0 и -1. Однако правило «возвести в квадрат, удвоить и затем вычесть единицу», если начать применять его, скажем, к значению 0,1, порождает последовательность чисел -0,98, 0,92, 0,69, -0,03,…, в которой не удается заметить никакой очевидной закономерности.

Основным понятием теории хаоса является аттрактор, т.е. то поведение, к которому в конце концов приходит или в пределе стремится система. Аттракторами для трех описанных выше систем являются: единственное число 0; пара чисел (0, -1); весь интервал чисел между –1 и 1. Динамика в этих трех случаях соответственно стационарная, периодическая и хаотическая. Хаотический аттрактор обладает скрытой структурой, которая часто становится явной после графического представления итераций. Состояние динамической системы – это набор чисел, которые можно интерпретировать как координаты изображающей его точки в некотором фазовом пространстве. Когда состояние системы меняется, эта точка движется. Для стационарного аттрактора движущаяся точка стремится к фиксированному положению, а для периодического аттрактора она циклически проходит через фиксированную последовательность положений. В случае хаотического аттрактора движущаяся точка образует более сложную конфигурацию с очень хитроумной, многослойной структурой. Такие конфигурации называют фракталами; этот термин был введен в 1970 Б.Мандельбротом. Его работы впоследствии стимулировали огромное количество исследований по фрактальной геометрии.

Важной чертой хаотической динамики является ее непредсказуемость. Представим себе две частички порошка, находящиеся рядом друг с другом в жидкости внутри миксера

После включения миксера эти две частички недолго останутся рядом; они быстро разойдутся в разные стороны и вскоре начнут двигаться независимо. Подобным же образом, если дважды запустить хаотическую систему из очень близких начальных состояний, ее поведение в этих двух случаях быстро станет совершенно непохожим. Это означает, что на больших временных интервалах хаотические системы непредсказуемы. Малейшая погрешность измерения начального состояния быстро растет, и предсказание будущего состояния становится все более неточным. Однако, в отличие от случайной системы, краткосрочное прогнозирование здесь возможно.

Транскрипт

1 Эдвард лоуренс теория хаоса >>> Эдвард лоуренс теория хаоса Эдвард лоуренс теория хаоса Может быть, следует признать, что то, что мы привыкли называть беспорядком отнюдь Эдвард лоуренс теория хаоса является отсутствием того, что обычно называют порядком? Тем не менее большинство проектов затягиваются, а смета превышает запланированную. Описание Сборник посвящен легендарной фигуре Лоуренса Аравийского, некоронованного короля Аравии, знаменитого британского разведчика и талантливого ученого-востоковеда, теоретика и практика партизанской войны полковника Томаса Эдуарда Лоуренса Для того, чтобы динамическая система была хаотической, она должна быть нелинейной. Ни скачать нельзя, ни купить. Там, где вчера была дорога, сегодня можно ее не искать. Глядя на него, мы, вероятно, решим что все, что находится на нем, свалено в беспорядочную кучу. Детерминированная система будет иметь очень маленькую погрешность устойчивый, постоянный результатили она будет увеличиваться по экспоненте со временем хаос. Эта формулировка отлично иллюстрирует суть возникшей из работ Лоренца теории хаоса, которая сейчас играет важную роль едва ли не во всех областях современной науки — от математики до биологии. Хакенво франкоязычных странах — теорией диссипативных структур И. В книгу включены автобиографическое произведение Если она выглядит случайной, тогда нужно увеличить диапазон, чтобы получить детерминированную погрешность. Белая пума притаилась на заснеженном склоне горы. Теория вводит понятие в том числе, странных аттракторов как притягивающих канторовых структурустойчивых орбит системы т. Это значит, что любая система, даже если она детерминированная, будет содержать немного случайностей

В определении хаоса внимание обычно ограничивается только закрытыми системами, в которых расширение и чувствительность к первоначальным условиям объединяются со смешиванием. В определении хаоса внимание обычно ограничивается только закрытыми системами, в которых расширение и чувствительность к первоначальным условиям объединяются со смешиванием

Томас Эдвард Лоуренс легендарная фигура времен Первой мировой войны. Открытию дали имя Лоренца и оно доказало, что не может точно предсказать погоду на период более недели. Эдвард лоуренс теория хаоса Хаотическими могут быть и простые без. Это как порядок исходящий из хаоса. Однако современная научно-техническая революция вовлекла в техническое творчество миллионы людей и остро поставила проблему повышения эффективности творческого мышления. If you come across any problems or wish to ask a question, please do not hesitate to pas our Support service using the. Другие примеры подобных явлений были разработаны американской и российской школами в теории динамических систем, причем особенно важным оказался вклад В. Даже для закрытых систем чувствительность к первоначальным условиям не идентична с хаосом в смысле изложенном выше. Однако её поведение тривиально, поскольку все точки кроме нуля имеют тенденцию ки это не топологическое смешивание.

Основные сведения

Причиной появления хаоса является неустойчивость (чувствительность) по отношению к начальным условиям и параметрам: малое изменение начального условия со временем приводит к сколь угодно большим изменениям динамики системы.

Динамику, которая чувствительна к малейшим изменениям начальных условий системы, из которых начинается её развитие, изменение, и в которой эти малейшие отклонения со временем многократно приумножаются, затрудняя предсказание будущих состояний системы, часто и называют хаотичной.

К примеру, мы знаем траекторию движения механической системы, если даны начальные условия. Если бы система была устойчива, не хаотична, то при небольших изменениях начальных условий, новая траектория не сильно отличалась бы от прежней, возможно даже, что новая траектория движения со временем совпала бы с прежней. Но если система была бы хаотичной, неустойчивой, то поначалу старая и новая траектории могли бы и быть близки, однако со временем траектории стали бы совершенно различны, то есть система проявила бы высокую чувствительность к начальным данным задачи о движении.

Так как начальное состояние физической системы не может быть задано абсолютно точно (например, из-за ограничений измерительных инструментов), то всегда необходимо рассматривать некоторую (пусть и очень маленькую) область начальных условий. При движении в ограниченной области пространства экспоненциальная расходимость близких орбит с течением времени приводит к перемешиванию начальных точек по всей области. После такого перемешивания уже практически не имеет смысла говорить о координате конкретной частицы, более целесообразным является переход к статистическому описанию процесса, то есть к определению вероятности нахождения частицы в некоторой точке.

Примерами хаотических динамических систем могут являться подкова Смейла и преобразование пекаря.

Обратным, в некотором смысле, к динамическому хаосу является динамическое равновесие и явления гомеостаза.

История вопроса.

Понятие хаоса не было в явном виде сформулировано до 1960-х годов, но его истоки можно проследить начиная с последнего десятилетия 19 в., когда появилась удостоенная премии работа французского математика А.Пуанкаре о движении в Солнечной системе. Двумя столетиями раньше Ньютон установил закон всемирного тяготения, из которого вывел, что движение двух притягивающихся тел в отсутствие других сил описывается просто: каждое из них перемещается относительно их общего центра масс по одному из конических сечений – окружности, эллипсу, параболе, гиперболе или прямой. Для трех или большего числа тел, однако, нельзя найти подобного простого решения, и Пуанкаре показал, что эта трудность вызвана не недостатком человеческой изобретательности, а свойствами, внутренне присущими динамике многих тел. Он установил, что даже в ограниченной задаче трех тел, масса одного из которых пренебрежимо мала, возможно столь сложное движение, что его нельзя описать никакой математической формулой. См. также НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА.

В 1926–1927 голландский инженер Б.Ван-дер-Пол сконструировал электронную схему, соответствующую математической модели сердечных сокращений. Он обнаружил, что при определенных условиях возникающие в схеме колебания были не периодическими, как при нормальном сердцебиении, а нерегулярными. Его работа получила серьезное математическое обоснование в годы Второй мировой войны, когда Дж.Литтлвуд и М.Картрайт исследовали принципы радиолокации. В начале 1960-х годов американский математик С.Смейл попытался построить исчерпывающую классификацию типичных разновидностей поведения динамических систем. Поначалу он предполагал, что можно обойтись различными комбинациями периодических движений, но вскоре понял, что возможно значительно более сложное поведение. В частности, он подробнее исследовал открытое Пуанкаре сложное движение в ограниченной задаче трех тел, упростив геометрию и получив при этом систему, известную ныне как «подкова Смейла». Он доказал, что такая система, несмотря на ее детерминированность, проявляет некоторые черты случайного поведения. Другие примеры подобных явлений были разработаны американской и российской школами в теории динамических систем, причем особенно важным оказался вклад В.И.Арнольда. Так начала возникать общая теория хаоса. Сам термин «хаос» ввели Дж.Йорке и Т.Ли в 1975 в краткой статье, посвященной обсуждению некоторых результатов исследований российской школы.

Исследования хаотических систем время от времени появлялись и в литературе по прикладным вопросам. Наиболее известная из таких моделей была введена метеорологом Э.Лоренцем в 1963. Лоренц построил модель конвекции в атмосфере, создав приближения очень сложных уравнений, описывающих это явление, значительно более простыми уравнениями с тремя неизвестными. Численно решая их на компьютере, он обнаружил, что решения колеблются нерегулярным, почти случайным образом. Лоренц также установил, что если слегка изменять начальные значения переменных, то отклонения будут усиливаться, пока новое решение не окажется совершенно непохожим на исходное. Описание им этого явления в последующих лекциях привело к популярному ныне выражению «эффект бабочки»: взмах крыла бабочки может изменить погоду.

Литература

• Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б., Подлазов А. В. Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды. — М.: УРСС, 2006. — ISBN 5-484-00200-1.
• Заславский Г. М., Сагдеев Р. З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. — М.: Наука, 1988. — 368 с.
• Заславский Г. М.,. Физика хаоса в гамильтоновых системах. — М.: Институт компьютерных исследований, 2004. — 288 с.
• Мухин Р. Р. Очерки по истории динамического хаоса: Исследования в СССР в 1950-1980-е годы. — 2-е издание. — М.: УРСС, 2012. — 320 с. — ISBN 9785397030557.
• Физическая энциклопедия, статья Г. М. Заславский, Н. А. Кириченко, «Динамический хаос»