Малая теорема ферма

Краткая история доказательств

Если n = 4, что доказано самим Ферма, достаточно доказать теорему для индексов n, которые являются простыми числами. В течение следующих двух столетий (1637-1839) гипотеза была доказана только для простых чисел 3, 5 и 7, хотя Софи Жермен обновляла и доказывала подход, который имел отношение ко всему классу простых чисел. В середине 19 века Эрнст Куммер расширил это и доказал теорему для всех правильных простых чисел, в результате чего нерегулярные простые числа анализировались индивидуально. Основываясь на работе Куммера и, используя сложные компьютерные исследования, другие математики смогли расширить решение теоремы, имея цель охватить все основные показатели до четырех миллионов, но док-во для всех экспонентов по-прежнему было недоступным (это означает, что математики обычно считали решение теоремы невозможным, чрезвычайно сложным, или недостижимым с современными знаниями).

Приложения[править | править код]

Псевдопростые числа Ферма и тестирование на простотуправить | править код

Основная статья: Псевдопростые числа Ферма

Основная статья: Тест простоты

Малая теорема Ферма может быть использована для тестирования числа на простоту: если (ap−a){\displaystyle (a^{p}-a)} не делится на p{\displaystyle p}, то p — составное число. Однако обращение малой теоремы Ферма в общем случае неверно: если a{\displaystyle a} и p{\displaystyle p} — взаимно простые числа и ap−1−1{\displaystyle a^{p-1}-1} делится на p, то число p{\displaystyle p} может быть как простым, так и составным. В случае, когда p{\displaystyle p} является составным, оно называется псевдопростым Ферма по основанию a.

К примеру, китайская гипотеза утверждает, что p{\displaystyle p} является простым числом тогда и только тогда, когда 2p≡2(modp){\displaystyle 2^{p}\equiv 2{\pmod {p}}}. Здесь прямое утверждение о том, что если p{\displaystyle p} простое, то 2p≡2(modp){\displaystyle 2^{p}\equiv 2{\pmod {p}}}, является частным случаем малой теоремы Ферма. Обратное же утверждение о том, что если 2p≡2(modp){\displaystyle 2^{p}\equiv 2{\pmod {p}}}, то p{\displaystyle p} простое, есть частный случай обращения малой теоремы Ферма. Это обращение ложно: Саррус в 1820 году нашёл, что число N=2341−1−1{\displaystyle N=2^{341-1}-1} делится на 341{\displaystyle 341}, так как N{\displaystyle N} делится на 210−1=3⋅341{\displaystyle 2^{10}-1=3\cdot 341}. Однако 341{\displaystyle 341} — составное число: 341=11⋅31{\displaystyle 341=11\cdot 31}. Таким образом, 341 — псевдопростое число по основанию 2.

В общем случае обращение малой теоремы Ферма также не выполняется. Контрпримером в общем случае являются числа Кармайкла: это числа p, являющиеся псевдопростыми по основанию a для всех a, взаимно простых с p. Наименьшим из чисел Кармайкла является 561.

Ввиду того, что обращение малой теоремы Ферма неверно, выполнение её условия не гарантирует что p — простое число. Тем не менее малая теорема Ферма лежит в основе теста Ферма на простоту. Тест Ферма является вероятностным тестом на простоту: если теорема не выполняется, то число точно составное, а если выполняется — то число простое с некоторой вероятностью. Среди других вероятностных методов можно отметить: тест Соловея — Штрассена и тест Миллера — Рабина, последний в некоторой степени опирается на малую теорему Ферма. Также существует и детерминированный алгоритм: Тест Агравала — Каяла — Саксены.

Кроме того, справедливы следующие два утверждения. Если пара (2, n) удовлетворяют сравнению an−1≡1(modn){\displaystyle a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}}, то и пара чисел (2,2n−1){\displaystyle (2,2^{n}-1)} также ему удовлетворяют. Для любого простого числа n и любого a > 2 такого, что (a2−1,n)=1{\displaystyle (a^{2}-1,n)=1}, значение a2n−1a2−1{\displaystyle {\frac {a^{2n}-1}{a^{2}-1}}} является псевдопростым числом Ферма по основанию a.

Джон Уайлс доказал великую Теорему Ферма

И вот, наконец, только в конце 1994 года, математик из Англии, Джон Уайлс нашел и продемонстрировал точное доказательство спорной теоремы Фермера. Тогда, после множества доработок, дискуссии по этому поводу пришли к своему логическому завершению.

Опровержение было размещено на более ста страницах одного журнала! Причем теорема была доказана на более современном аппарате высшей математики. И что удивительно, на тот момент, когда Фермер писал свой труд, такого аппарата в природе не существовало. Словом, человек был признан гением в этой области, с чем поспорить не мог никто. Несмотря на все что было, на сегодняшний день можно быть уверенными в том, что представленная теорема великого ученого Фермера оправдана и доказана, и споры и на эту тему не заведет ни одни математик со здравым смыслом, с чем согласны даже самые заядлые скептики всего человечества.

Полное имя человека, в честь которого была названа представленная теорема, звали Пьер де Фермер. Он внес свой вклад в самые разнообразные области математики. Но, к сожалению, большинство его трудов были опубликованы только после его смерти.

Альтернативная формулировка

Следующая формулировка отличается отсутствием требования, чтобы число a{\displaystyle a} не делилось на p{\displaystyle p}:

К примеру, если a=7;p=5{\displaystyle a=7;p=5}, то 75=16807=5⋅3361+2,{\displaystyle 7^{5}=16807=5\cdot 3361+2,} и 7=5⋅1+2.{\displaystyle 7=5\cdot 1+2.}.

Легко показать что эта формулировка сводится к изначальной. Так, если a{\displaystyle a} делится на p{\displaystyle p}, то a≡(modp){\displaystyle a\equiv 0{\pmod {p}}} и ap≡(modp){\displaystyle a^{p}\equiv 0{\pmod {p}}}, т.е. ap≡a(modp){\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}}. Если же a{\displaystyle a} не делится на p{\displaystyle p}, то выражение ap≡a(modp){\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}} эквивалентно выражению ap−1≡1(modp){\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}.

Суть Великой теоремы

Довольно известная теорема Ферма проста по своей сути и заключается в том, что при условии, когда n больше двойки, положительного числа, уравнение Хn+Yn=Zn не будет иметь решений нулевого типа в рамках натуральных чисел. В этой с виду простой формуле была замаскирована невероятная сложность, и на ее доказательством бились целых три века. Есть одна странность – теорема опоздала с рождением на свет, так как ее частный случай при n=2 появился еще 2200 лет тому назад – это не менее знаменитая теорема Пифагора.

Необходимо отметить, что история, касающаяся всем известной теоремы Ферма, является очень поучительной и занимательной, причем не только для ученых-математиков. Что самое интересное, так это то, что наука являлась для ученого не работой, а простым хобби, которое в свою очередь, доставляла Фермеру огромное удовольствие. Также он постоянно поддерживал связь с ученым-математиком, а по совместительству, еще и другом, делился идеями, но как ни странно, собственные работы опубликовывать в свет не стремился.

Труды математика Фермера

Что касается самих работ Фермера, то их обнаружили именно в форме обычных писем. Местами не было целых страниц, и сохранились лишь обрывки переписок. Более интересен тот факт, что на протяжении трех веков ученые искали ту теорему, которая была обнаружена в трудах Фермера.

Но кто бы не решался ее доказать, попытки сводились к «нулю». Известный математик Декарт и вовсе обвинял ученого в хвастовстве, но все это сводилось лишь к самой обычной зависти. Помимо создания, Фермер еще и доказал собственную теорему. Правда решение было найдено для того случая, где n=4. Что касается случая для n=3, то его выявил математик Эйлер.

Как пытались доказать теорему Фермера

В самом начале 19 века данная теорема продолжила свое существование. Математики нашли много доказательств теорем, которые ограничивались натуральными числами в пределах двухсот.

А в 1909 году была поставлена на кон довольно крупная сумма, равная ста тысячам маркам немецкого происхождения – и все это только лишь за то, чтобы решить вопрос, связанный с этой теоремой. Сам фонд призовой категории был оставлен богатым любителем математики Паулем Вольфскелем, родом из Германии, кстати, именно он хотел «наложить на себя руки», но благодаря такой вовлеченности в теорему Фермера, захотел жить. Возникший ажиотаж породил тонны «доказательств», заполонивших германские университеты, а в кругу математиков родилось прозвище «фермист», которым полупрезрительно называли всякого амбициозного выскочку, не сумевшего привести явные доказательства.

Гипотеза японского математика Ютаки Танияма

Сдвигов в истории Великой теоремы до середины 20 столетия так и не наблюдалось, но одно занимательное событие все-таки произошло. В 1955 году математик из Японии Ютака Танияма, которому было 28 лет, явил миру утверждение из абсолютно другой математической области – его гипотеза в отличие от Ферма опередило свое время. Она гласит: «Каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма». Вроде бы абсурд для каждого математика, подобно, что дерево состоит из определенного металла! Парадоксальную гипотезу, как и большинство прочих ошеломляющих и гениальных открытий, не приняли, так как еще попросту не доросли до нее. И Ютака Танияма покончил жизнь самоубийством, спустя три года – поступок необъяснимый, но, вероятно, честь для истинного гения-самурая была превыше всего.

Целое десятилетие о гипотезе не вспоминали, но в семидесятые она поднялась на пик популярности – ее подтверждали все, кто мог в ней разобраться, но, как и теорема Ферма, она оставалась недоказанной.

Как связаны гипотеза Таниямы и теорема Ферма

Спустя 15 лет в математике произошло ключевое событие, и оно объединило гипотезу прославленного японца и теорему Ферма. Герхард Грей заявил, что когда будет доказана гипотеза Танияма, тогда и найдутся доказательства теоремы Ферма. То есть последняя – это следствие гипотезы Танияма, и уже через полтора года профессором университета в Калифорнии Кеннетом Рибетом теорема Ферма была доказана.

Шло время, регресс заменялся прогрессом, а наука стремительно продвигалась вперед, особенно в области компьютерных технологий. Таким образом, значение n стало все больше повышаться.

В самом конце 20 века самые мощные компьютеры находились в лабораториях военного направления, было осуществлено программирование на вывод решения задачи всем известного Ферма. Как следствие всем попыткам было выявлено то, что данная теорема правильная для многих значений n, x, y. Но, к сожалению, окончательным доказательством это не стало, так как не было конкретики как таковой.

Характеристика работы

Доказательство теоремы Ферма Эндрю Уайлсом использует многие методы из алгебраической геометрии и теории чисел и имеет много разветвлений в этих областях математики. Он также использует стандартные конструкции современной алгебраической геометрии, такие как категория схем и теория Ивасавы, а также другие методы XX века, которые не были доступны Пьеру Ферма.

Две статьи, содержащие доказательства, составляют 129 страниц, которые писались в течение семи лет. Джон Коутс описал это открытие как одно из величайших достижений теории чисел, а Джон Конвей назвал его главным математическим свершением 20 века. Уайлс, чтобы доказать последнюю теорему Ферма путем доказательства теоремы модульности для частного случая полустабильных эллиптических кривых, разработал действенные методы подъема модульности и открыл новые подходы к многочисленным другим проблемам. За решение последней теоремы Ферма он был посвящен в рыцари и получил другие награды. Когда стало известно, что Уайлс выиграл премию Абеля, Норвежская академия наук описала его достижение как «восхитительное и элементарное доказательство последней теоремы Ферма».

Как Ферма заварил кашу

1.2. Краткие исторические сведения

В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 на полях «Арифметики» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было здесь поместить: «Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».

Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для n = 4. Но эта публикация как раз, позволяет сомневаться в том, что у него было доказательство общего случая, иначе он непременно упомянул бы о нем в этой статье.

Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825 году – для n = 5, Ламе – для n = 7.Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением 37,59,67.

Над полным доказательством Великой теоремы Ферма работало немало выдающихся математиков, и эти усилия привели к получению многих результатов современной теории чисел. Считается, что теорема стоит на первом месте по количеству некорректных «доказательств».

В 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. После первой мировой войны премия обесценилась.

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение xn+yn= zn при n > 3 может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Здесь заканчивается «надводная часть» фактов. Известно, что впоследствии Пьер Ферма интересовался частными случаями своего утверждения — что было бы странно, если бы он располагал общим доказательством. Скорее всего, Ферма ошибся — большинство исследователей (в числе которых достаточно математиков из «первой сотни») считает так.

Последние 150 лет с теоремой Ферма успешно конкурирует гипотеза Римана о нулях дзета-функции. Ее несколько сложнее изложить в терминах школьной математики, но ряд следствий — например, утверждение о бесконечном количестве пар простых чисел, отличающихся на два — общеизвестны. Хотя за ее доказательство (или опровержение) тоже назначена солидная премия — миллион долларов, желающих заработать славу и деньги таким способом довольно немного.

Последний, но самый важный шаг в доказательстве теоремы был сделан в сентябре 1994 года Уайлсом. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics». Доказательство основано на предположении немецкого математика Герхарда Фрая о том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы – Симуры(это предположение было доказано Кеном Рибетом при участии Ж.-П.Серра).

Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году(после семи лет напряженной работы), но в нем вскоре обнаружился серьезный пробел; с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора пробел удалось достаточно быстро ликвидировать. В 1995 году был опубликован завершающий вариант.

В 1997 году Уайлсу за решение «гололомки четырехвековой давности» вручили Филдсовскую премию — самую престижную математическую награду.

Похожее

Апология математики
Успенский В. А.

В этой книге говориться о математике как о части культуры духовной. Данный текст писался не для математиков, а скорее для гуманитариев. Поэтому при его составлении в ряде случаев приходилось выбирать между понятностью и точностью. Предпочтение отдавалось понятности. Очерчивая место математики в современной культуре, автор пытается прояснить для читателей-нематематиков некоторые основные понятия и проблемы «царицы наук».

Почему нельзя делить на ноль?
«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами

Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Алгебраическая структура пространства-времени, алгебродинамика полей и частиц
Вашему вниманию предлагается исследовательская программа, последовательно возрождающая неопифагорейскую философию в теоретической физике и основанная на убеждении в неслучайности физических законов, в существовании единого первичного принципа, определяющего структуру (видимого и невидимого) Мира и записанного на абстрактном математическом языке, на языке Чисел (целых, действительных и, возможно, их обобщений).

Сложность конечных последовательностей нулей и единиц и геометрия конечных функциональных пространств
Арнольд В. И.
Популярная лекция, в том виде, в каком Владимир Игоревич Арнольд прочитал ее 13 мая 2006 года в концертном зале «Академический» по приглашению фонда «Династия»

Эту лекцию, как уверяет сам академик Арнольд, может понять даже школьник.

Цепные дроби
Николай Мощевитин
Как определял цепные дроби Адольф Гурвиц? В чем смысл гипотезы Зарембы? И какие математические задачи связаны с цепными дробями? Об этом рассказывает доктор физико-математических наук Николай Мощевитин.

Периодические цикады и простые числа

Есть гипотеза, что продолжительность циклов большинства цикад не случайна, а представляет собой интервалы из простых чисел (чисел, делимых без остатка только на себя — 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т. д.), являясь наиболее действенной стратегией выживания и размножения.

Число, время, свет
Владимир Кассандров
Программа Гордона
Существует ли единый «Код Природы»? Может ли число порождать свет, а свет — материю? В чем суть основных принципов «неопифагорейского» подхода к построению физических теорий? О «реке времени» и частицах как точках «сгущения» первичных световых потоков — физик Владимир Кассандров.

Математика бесконечности
Лебедев Ю. А.

Энциклопедии элементарной математики
Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я.
Сборник книг предназначается для людей, изучавших элементарную математику и уже ставших или готовящихся стать преподавателями элементарной математики. Логика нашего издания — это логика систематического, по возможности простого и доступного изложения тех вопросов математической науки, из которых строится школьный курс, а также и тех, которые хотя и не находят в этом курсе прямого выражения, однако необходимы для правильного и сознательного его понимания и создают перспективы для дальнейшего развития содержания и методов школьного курса.

Куда движется математика?
Брайан Дэвис
На протяжении большей части XX столетия в «чистой» математике царило замечательное единодушие относительно того, как нужно представлять результаты. Весь предмет сводился к комплексу теорем, каждая из которых, в конечном счете, выводилась из фиксированного набора аксиом путем так называемого строгого логического доказательства. В отдельных разделах математики, таких, например, как арифметика Пеано, справедливость аксиоматики выглядела самоочевидной, однако во многих случаях аксиомы попросту очерчивали рассматриваемую область вопросов. Для математиков, если только они не выходили за рамки математики, выступая в роли философов-любителей, принципиального различия между изобретением и открытием новых концепций не было.

Далее >>>

Примечания

1. Diophantus of Alexandria. Arithmeticorum libri sex, et de numeris multangulis liber unus. Cum commentariis C.G. Bacheti V.C. & observationibus D.P. de Fermat senatoris Tolosani. Toulouse, 1670, pp. 338—339.
2. ↑ Fermat a Carcavi. Aout 1659. Oeuvres de Fermat. Tome II. Paris: Tannery & Henry, 1904, pp. 431—436.
3. Английский перевод:  (недоступная ссылка)
4.  (англ.)
5. Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 199—200.
6.  (недоступная ссылка). Дата обращения 27 ноября 2015.
7. Наварро, Хоакин. Неуловимые идеи и вечные теоремы. Великие задачи математики. — М.: Де Агостини, 2014. — С. 84. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 25). — ISBN 978-5-9774-0720-5.
8. ↑
9. Лазарь Шлемович Райхель. Великая теорема: (Повесть) / Л. Райхель — Л.: Б. м. Б. и. 252 с., 1990 (обл. 1991)
10. В 2010 году книга вышла на русском языке в издательстве «Эксмо», в оригинале название «Flickan som lekte med elden», в английском переводе «The girl who played with fire».

Заключение

Счастье первооткрывателя всегда достается кому-то одному —
это именно он последним ударом молота раскалывает твердый орешек.
Но нельзя игнорировать множество предыдущих ударов,
которые не одно столетие формировали трещину в орехе математических знаний:
Эйлера и Гаусса (королей математики своих времен),
Эвариста Галуа (успевшего за свою короткую 21-летнюю жизнь основать теории групп и полей,
работы которого были признаны гениальными лишь после его смерти),
Анри Пуанкаре (учредителя не только причудливых модулярных форм, но и конвенционализма — философского течения),
Давида Гилберта (одного из сильнейших математиков ХХ века), Ютаку Танияму, Горо Шимуру
[дают японцы! только Ивасаву забыли],
Морделла, Фальтингса, Эрнста Куммера, Барри Мазура, Герхарда Фрея, Кена Риббета, Ричарда Тейлора
и других настоящих ученых (не побоюсь этих слов).
Доказательство Великой теоремы Ферма можно поставить в один ряд с такими достижениями ХХ века,
как изобретение компьютера, ядерной бомбы и полет в космос .
Хоть о нем и не так широко известно, потому что оно не вторгается в зону наших сиюминутных интересов,
как например, телевизор или электрическая лампочка, но оно явилось вспышкой сверхновой звезды,
которая, как и все непреложные истины, всегда будет светить человечеству.

Вы можете спросить: «Ну и что из того, что доказали какую-то теорему, кому это надо?».
Справедливый вопрос. Тут в точности сгодится ответ Давида Гилберта.
Когда на вопрос: «какая задача сейчас для науки наиболее важна?»,
он ответил: «поймать муху на обратной стороне Луны»,
его резонно спросили: «А кому это надо?», он ответил так:
«Это никому не надо. Но подумайте над тем, сколько важных сложнейших задач надо решить, чтобы это осуществить».
Подумайте, сколько задач за 360 лет смогло решить человечество, прежде, чем доказать теорему Ферма.
Надо также учитывать, что математика — авангард науки, и любые научные достижения и изобретения начинаются именно здесь.
Как заметил Леонардо да Винчи, «наукой можно признать лишь то учение, которое подтверждается математически»
.
А теперь давайте вернемся в начало нашей истории, вспомним запись Пьера Ферма на полях учебника Диофанта
и еще раз зададимся вопросом: действительно ли Ферма доказал свою теорему?
Этого мы, конечно, не можем знать наверняка, и как в любом деле тут возникают разные версии:

1. Ферма доказал свою теорему.
   На вопрос: «Имел ли Ферма точно такое же доказательство своей теоремы?»,
   Эндрю Уайлс заметил: «Ферма не мог располагать таким доказательством. Это доказательство ХХ века».
   Мы с вами понимаем, что в XVII веке математика, конечно же, была не та, что в конце ХХ века —
   в ту эпоху д,Артаньяна, царица наук еще не обладала теми открытиями
   (модулярные формы, теоремы Таниямы, Фрея и др.),
   которые только и позволили доказать Великую теорему Ферма
   .
   Конечно, можно предположить: чем черт не шутит — а вдруг Ферма догадался другим путем?
   Эта версия хоть и вероятна, но по оценкам большинства математиков, почти невозможна).
2. Пьеру Ферма показалось, что он доказал свою теорему, но в его доказательстве были ошибки.
   (То есть, сам Ферма был также и первым ферматистом);
3. Ферма свою теорему не доказал, а на полях просто соврал.

Если верна одна из двух последних версий, что наиболее вероятно, то тогда можно сделать простой вывод:
великие люди, они хоть и великие, но тоже могут ошибаться или иногда не прочь приврать
(в основном, этот вывод будет полезен для тех, кто склонен безраздельно доверять своим кумирам, авторитетам и т.д.).
Поэтому, читая произведения авторитетных сынов человечества или слушая их пафосные выступления,
вы имеете полное право сомневаться в их утверждениях.
(Прошу заметить, что сомневаться — не значит отвергать).

Главная

Математика:
Арифметика и ТЧ |
Геометрия |
Алгебра |
Матанализ |
Дискретная математика |
Прикладная математика |
Проблемы математики

Близкие по теме страницы:
Гранты |
Эвристика и авторство |
Информатика

На правах рекламы (см.
условия):

Страница обновлена 20.08.2020