Как научиться ребенку быстро считать в уме?

Особенности

Существует очень много методик, способствующих обучению быстрому счету в уме

При всем видимом отличии у них есть важное сходство — они зиждутся на трех «китах»:

• Тренировки и накопление опыта. Регулярная практика, решение заданий от простого к сложному качественно и количественно меняют навык устных вычислений.
• Алгоритм. Знание и применение «секретных» приемов и законов значительно упрощает процесс счета.
• Способности и природная одаренность. Развитая краткосрочная память и ее немалый объем, а также высокая концентрация внимания — большое подспорье в занятиях быстрым счетом в уме. Несомненный плюс — наличие математического склада ума и предрасположенности к логическому мышлению.

Феноменальные счётчики

Основная статья: Феноменальный счётчик

Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой, проводившиеся в том числе и в стенах уважаемых учебных заведений, включая, например, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова.

Среди известных российских «супер счётчиков»:

• Арон Чиквашвили — «чудо-счётчик»
• Арраго
• Давид Гольдштейн
• Игорь Шелушков
• Горный (Яшков) Юрий Гаврилович
• А. В. Некрасов — «человек-компьютер»
• Владимир Кутюков — «человек-календарь»

Среди зарубежных:

• Борислав Гаджански
• Вильям Клайн
• Жак Иноди (итал.)русск.
• Луи Флери
• Мадемуазель Осака
• Морис Дагбер
• Томас Фулер
• Урания Диамонди
• Шакунтала Дэви
• Юсниер Виера — кубино-американский математик, феноменальный счётчик, мировой рекордсмен в области устного календарного исчисления.

Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врождённых способностях, другие аргументированно доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных, „феноменальных“ способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы.

Истина, как обычно, оказалась на некоей «золотой середине» сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто, следуя Трофиму Лысенко, уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приёмами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «хорошенько нагрузить» мозг такими занятиями, как устный счёт, шахматы вслепую и т. п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжёлых случаях — и к шизофрении). С другой стороны, и одарённые люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области, как устный счёт, быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения.

Примечания

1. ↑ Г. В. Дюдяева, Н. В. Долбилова // Учитель — ученик: проблемы, поиски, находки: Сборник научных трудов. Выпуск 8
2. ↑ . ТАСС. Дата обращения 13 мая 2020.
3. ↑
4. ↑ [zhurnalko.net/=nauka-i-tehnika/tehnika-molodezhi/1974-07—num44 Чудо-счётчики.] // Виктор Пекелис, Техника — молодёжи, N7 1974 г.
5. Чудо-счётчик // Диво-90. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: «Диво», 1991. — С. 54. — 207 с. — 100 000 экз.
6. Чудо-счётчик // Диво 93. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: «Диво», 1993. — С. 29. — 191 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-87012-008-X..
7. Чудо-счётчик // Книга рекордов «Левша». — Москва: Издательский дом «Вся Россия», 2004. — С. 123. — 336 с. — 4000 экз.
8. // Диво-90. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: «Диво», 1991. — С. 54. — 207 с. — 100 000 экз.
9. Человек-компьютер // Диво 93. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: «Диво», 1993. — С. 29. — 191 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-87012-008-X..
10. Человек-компьютер // Диво. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: «Диво», 1998. — С. 30. — 224 с. — 15 000 экз. — ISBN 5-87012-014-4..
11. Человек-компьютер // Диво. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: «Диво», 2001. — С. 29. — 287 с. — 10 000 экз. — ISBN 5-87012-017-9..
12. Человек-компьютер // Книга рекордов «Левша». — Москва: Издательский дом «Вся Россия», 2004. — С. 123. — 336 с. — 4000 экз.
13. Человек-календарь // Диво 93. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: «Диво», 1993. — С. 29. — 191 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-87012-008-X..
14. Человек-календарь // Диво. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: «Диво», 1998. — С. 30—31. — 224 с. — 15 000 экз. — ISBN 5-87012-014-4..
15. Календарь в голове // Диво. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: «Диво», 2001. — С. 29—30. — 287 с. — 10 000 экз. — ISBN 5-87012-017-9..
16. Календарь в голове // Диво. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: «Диво», 2005. — С. 28—29. — 208 с. — ISBN 5-87012-023-3..
17. Человек-календарь // Книга рекордов «Левша». — Москва: Издательский дом «Вся Россия», 2004. — С. 123. — 336 с. — 4000 экз.
18. «Считаю, что тов. Гольдштейн Д. Н. — калькулятор высшей марки… Его работа основана исключительно на памяти и врождённых способностях. Очень доволен, что моё дело нашло в нём достаточно заслуженного наследника». Р. С. Арраго, Москва, 5. 11. 1929 г.
19. Я. Трахтенберг «Системы быстрого счёта»
20. ↑ Перельман Я. И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета.
21.  (англ.).

Деление в уме

Отвечая на вопрос, как быстро научиться считать устно, отдельное внимание стоит уделить делению чисел. В принципе, деление является обратной операцией умножению

С делением комбинаций до ста проблемы обычно не возникают, потому при подсчете используют таблицу умножения.

Делим на однозначное число

При делении многозначного значения сначала находят его большую часть, которую несложно разделить с использованием таблицы умножения. К примеру, для деления 6144 на восемь выделяют большую часть в размере 5600, потому что ее проще всего разделить на 8. Тогда подсчет имеет вид: 6144:8=(5600+544):8=700+546:8. После этого из второго слагаемого тоже выделяют большую часть, которая легко и нацело делится на восемь: 546:8=(480+64):8=60+64:8. Разделив 64 на 8, складывают все полученные ранее результаты: 700+60+8=768.

Делим на двузначное число

При выполнении деления многозначной комбинации на двузначную цифру используют следующее правило: последняя цифра результата перемножения всегда совпадает с последним цифровым значением, полученным в результате умножения последних цифр двух этих чисел.

К примеру, необходимо умножить 1325 на 528. Согласно этому правилу, последняя цифра в результате должна быть ноль, потому что 5х8=40. Это действительно так, ведь 1325х528=699600. Теперь, удостоверившись в работе правила, можно разобраться с делением двузначного числового значения. Например, нужно найти результат деления 4424 на 56. Последовательность действий:

1. Сначала идут путем подбора, чтобы уточнить предел, в который укладывается результат. Ищут значение, которое при умножении на 56 даст число, максимально приближенное к 4424. Так, при умножении на 80 получается 4480, значит нужно брать меньшее число, но точно большее, чем 70.
2. При умножении 6 на искомую комбинацию результат должен оканчиваться на 4. Вспомнив таблицу умножения, становится понятно, что в данном случае подходит 9 и 4.
3. Таким образом, зная, что искомое значение больше 70, предполагают, что результат деления равен 79 либо 74.
4. Остается выполнить проверочное действие и перемножить комбинации. 79х56=4424. Значит, из двух чисел подходит 79. Это правильный результат деления.

Устный счёт на автомате

• Во-первых, необходимо хорошо знать состав числа и таблицу умножения.

• Во-вторых, надо запомнить приемы упрощения расчётов. Как выяснилось, таких математических алгоритмов не так уж много.

В-третьих, чтобы приём превратился в удобный навык, надо постоянно проводить краткие «мозговые штурмы» — упражняться в устных вычислениях, используя тот или иной алгоритм.

Тренировки должны быть короткими: решить в уме по 3-4 примера, используя один и тот же приём, затем переходить к следующему. Надо стремиться использовать любую свободную минутку — и полезно, и нескучно. Благодаря простым тренировкам все вычисления со временем будут совершаться молниеносно и без ошибок. Это очень пригодится в жизни и выручит в непростых ситуациях.

Устный счёт в начальной школе

Выработка навыков устного счёта занимает особое место в начальной школе и является одной из главных задач обучения математике на этом этапе

Именно в первые годы обучения закладываются основные приёмы устных вычислений, которые активизируют мыслительную деятельность учеников, развивают у детей память, речь, способность воспринимать на слух сказанное, повышают внимание и быстроту реакции.. Для обучения детей устному счету часто используют счетную доску — абак

Многие эксперты считают, что метод счета с использованием абака (этот метод также называют ментальной арифметикой) появился в Древнем Китае, однако подтверждений этому не существует. Абак представлял собой доску до счета. Этими приспособлениями пользовались по всему миру, а не только в Китае.

Для обучения детей устному счету часто используют счетную доску — абак. Многие эксперты считают, что метод счета с использованием абака (этот метод также называют ментальной арифметикой) появился в Древнем Китае, однако подтверждений этому не существует. Абак представлял собой доску до счета. Этими приспособлениями пользовались по всему миру, а не только в Китае.

Программа обучения ментальной арифметике обычно занимает несколько лет. Сначала дети учатся считать на настоящем абаке. Далее вместо реальной доски обучающиеся начинают использовать её изображение: глядя на рисунок во время вычислений, нужно представлять, как передвигаются костяшки. В конце концов дети начинают представлять абак мысленно, что позволяет им производить умственно те же операции, что и с использованием настоящей доски. Многие эксперты считают, что ментальная арифметика позволяет эффективно развивать логическое мышление, аналитические навыки, а также улучшать память. Учащиеся могут визуализировать задачи, глубже их понимать и мыслить креативно

Эти навыки помогают им лучше концентрировать свое внимание, систематизировать получаемые знания и лучше адаптироваться к меняющимся условиям.

Однако некоторые педагоги и ученые относятся к данному методу немного скептически. Так, по словам заслуженного учителя России Леонида Звавича, устный счет — дело полезное, но есть масса других приемов устного счета и какой из них лучше, сказать сложно. Успехи ребёнка в обучении во многом зависят от того, какие у него были учителя, но развивающие занятия, безусловно, помогают ему подтянуть разные предметы.

Но даже критики данного метода признают, что какая-то польза от ментальной арифметики все же есть, особенно если ребёнку тяжело дается математика. Кроме того, в процессе обучения у детей вырабатывается привычка трудиться, что обязательно пригодится в дальнейшей жизни.

Феноменальные счётчики

Основная статья: Феноменальный счётчик

Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой, проводившиеся в том числе и в стенах уважаемых учебных заведений, включая, например, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова.

Среди известных российских «супер счётчиков»:

• Арон Чиквашвили — «чудо-счётчик»
• Арраго
• Давид Гольдштейн
• Игорь Шелушков
• Горный (Яшков) Юрий Гаврилович
• А. В. Некрасов — «человек-компьютер»
• Владимир Кутюков — «человек-календарь»

Среди зарубежных:

• Борислав Гаджански
• Вильям Клайн
• Жак Иноди (итал.)русск.
• Луи Флери
• Мадемуазель Осака
• Морис Дагбер
• Томас Фулер
• Урания Диамонди
• Шакунтала Деви
• Юсниер Виера — кубино-американский математик, феноменальный счётчик, мировой рекордсмен в области устного календарного исчисления.

Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врождённых способностях, другие аргументированно доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных, „феноменальных“ способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы.

Истина, как обычно, оказалась на некоей «золотой середине» сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто, следуя Трофиму Лысенко, уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приёмами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «хорошенько нагрузить» мозг такими занятиями, как устный счёт, шахматы вслепую и т. п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжёлых случаях — и к шизофрении). С другой стороны, и одарённые люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области, как устный счёт, быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения.

Литература

• Бантова М. А. Система формирования вычислительных навыков. //Нач. шк — 1993.-№ 11.-с. 38-43.
• Белошистая А. В. Приём формирования устных вычислительных умений в пределах 100 // Начальная школа. — 2001.- № 7
• Берман Г. Н. Приёмы счёта, изд. 6-е, М.: Физматгиз, 1959.
• Боротьбенко Е И. Контроль навыков устных вычислений. //Нач. шк. — 1972. — № 7.- с. 32-34.
• Воздвиженский А. Умственные вычисления. Правила и упрощённые примеры действий с числами. — 1908.
• Волкова СИ., Моро М. И. Сложение и вычитание многозначных чисел. //Нач. шк.- 1998.-№ 8.-с.46-50
• Воскресенский М. П. Приёмы сокращённых вычислений : Целые числа. — М.: типо-лит. В. Рихтер, 1905.- 39 с.
• Вроблевский. Как научиться легко и быстро считать. — М.-1932.-132с.
• Гольдштейн Д. Н. Курс упрощённых вычислений. М.: Гос. учебно-пед. изд., 1931.
• Гольдштейн Д. Н. Техника быстрых вычислений. М.: Учпедгиз, 1948.
• Гончар Д. Р. Устный счёт и память: загадки, приёмы развития, игры // В сб. Устный счёт и память. Донецк: Сталкер, 1997 г. ISBN 966-596-057-7.
• Демидова Т. Е., Тонких А. П. Приёмы рациональных вычислений в начальном курсе математики // Начальная школа. — 2002. — № 2. — С. 94-103.
• Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. — М.: Учпедгиз.- 1967. −150с.
• Липатникова И. Г. Роль устных упражнений на уроках математики //Начальная школа. — 1998. — № 2.
• Мартель Ф. Приёмы быстрого счёта. — Пб. −1913. −34с.
• Мартынов И. И. Устный счёт для школьника, что гаммы для музыканта. // Начальная школа. — 2003. — № 10. — С. 59-61.
• Мелентьев П. В. «Быстрые и устные вычисления.» М.: «Гостехиздат», 1930.
• Перельман Я. И. Быстрый счёт. Л.: Союзпечать, 1945.
• Пекелис В. Д. Твои возможности, человек!. — 4-е, перераб. и доп. — Москва: Знание, 1984. — 272 с. — 200 000 экз.
• Робер Токэ «2 + 2 = 4» (1957) (англоязычное издание: «Магия чисел» (1960)).
• Сорокин А. С. Техника счёта. М.: «Знание», 1976.
• Сухорукова А. Ф. Больше внимания устным вычислениям. //Нач. шк. — 1975.-№ 10.-с. 59-62.
• Творогов В. Б. Наглядная арифметика и технология быстрого счёта. М.: Кн.1: Основы. «Либроком», 2011. — 208 с. ISBN 978-5-397-01928-6.
• Фаддейчева Т. И. Обучение устным вычислениям // Начальная школа. — 2003. — № 10.
• Фаермарк Д. С. «Задача пришла с картины.» М.: «Наука».

Режимы счёта

На странице настроек режима можно задавать необходимые параметры генерации примеров с дробями для любого класса.

Онлайн тренажер «Дроби» позволяет генерировать примеры с любыми видами дробей, с любым из четырёх арифметических действий.

Кнопки на панели настроек работают по принципу «Вкл/Выкл». Если цвет кнопки зелёный — значит в примерах будут использоваться дроби того типа, который описывает кнопка. Если же цвет серый — этот тип дробей использоваться не будет.

В приложении отсутствуют режимы «Уравнение» и «Сравнение» из-за их избыточной сложности. Работа проходит только в режиме «Пример» с возможным использованием следующих типов дробей:

Разные знаменатели — в примере будут появляться обыкновенные дроби с разными знаменателями.

Неправильные дроби — в примере будут появляться обыкновенные неправильные дроби (числитель больше знаменателя).

Смешанные числа — в примере будут появляться смешанные числа (числа, состоящие из целой и дробной частей).

Десятичные дроби — в примере будут появляться дроби в десятичной записи.

Также имеется возможность включить обязательную проверку ответа на сокращение дробной части числа и выделение целой части числа (если имеется). Понять, нужно ли сокращать ответ можно по красному индикатору * на странице настроек и странице ввода ответа.

Все изменения настроек сразу применяются и Вы тут же можете увидеть как будет выглядеть новый пример в графе «Например». Когда подбор нужных характеристик окончен, нажмите на кнопку ПОЕХАЛИ.

Счет на пальцах

Сегодня еще можно встретить много защитников «пальчиковой гимнастики» и методики устного счета на пальцах. Нас убеждают, что учиться складывать и отнимать, загибая и разгибая пальцы — это очень наглядно и удобно. Диапазон таких вычислений очень ограничен. Как только расчеты выходят за рамки одной операции возникают трудности: надо осваивать следующий прием. Да и загибать пальцы в эпоху айфонов как-то несолидно.

Например, в защиту «пальчиковой» методики приводится приём умножения на 9. Хитрость приёма такова:

• Чтобы умножить любое число в пределах первой десятки на 9, надо развернуть ладони к себе.
• Отсчитывая слева направо, загнуть палец, соответствующий умножаемому числу. К примеру, чтобы умножить 5 на 9, надо загнуть мизинец на левой руке.
• Оставшееся количество пальцев слева будет соответствовать десяткам, справа — единицам. В нашем примере — 4 пальца слева и 5 справа. Ответ: 45.

Да, действительно, решение быстрое и наглядное! Но это — из области фокусов. Правило действует только при умножении на 9.  А не проще ли, для умножения 5 на 9 выучить таблицу умножения?  Этот фокус забудется, а хорошо выученная таблица умножения останется навсегда.

Также существует еще множество подобных приемов с применением пальцев для каких-то единичных математических операций, но это актуально пока вы этим пользуетесь и тут же забывается при прекращении применения. Поэтому лучше выучить стандартные алгоритмы, которые останутся на всю жизнь. 

Польза устного счета

Люди — не железные роботы, но тот факт, что они создают умные машины, говорит об их интеллектуальном превосходстве. Человеку нужно постоянно держать в тонусе свой мозг, чему активно способствует тренировка навыка счета в уме.

Для повседневной жизни:

• успешный устный счет — показатель аналитического склада ума;
• регулярный счет в уме убережет вас от раннего слабоумия и старческого маразма;
• ваше умение хорошо складывать и вычитать не позволит вас обмануть в магазине.

Для успешной учебы:

активизируется мыслительная деятельность;

, речь, внимание, способность воспринимать сказанное на слух, быстрота реакции, сообразительность, умение отыскивать наиболее рациональные пути для решения поставленной задачи;
укрепляется уверенность в своих возможностях.

Использование устного счета в повседневной жизни

Очень важным аспектом того, как правильно считать в уме, является знание таблицы умножения. Ее нужно как можно чаще повторять и использовать на практике. Для закрепления успеха следует минимизировать использование калькулятора.

В последнее время в анкетах для трудоустройства и непосредственно на собеседованиях работодатели требуют показать свои способности к математике. Если соискатель проявляет успехи при проведении расчетов в уме, это говорит о его аналитическом складе ума.

Если уметь успешно устно слагать и вычитать, можно не бояться нечестных продавцов, удивить своих близких и знакомых своим блестящим умом.

Учеными давно было доказано, что люди, которые регулярно считают в уме, менее подвержены раннему слабоумию и старческому маразму.

https://youtube.com/watch?v=LHnFXJnLdKE

Процесс устного счёта

Процесс устного счёта можно рассматривать как технологию счёта, объединяющую представления и навыки человека о числах, математические алгоритмы арифметики.

Имеются три вида технологии устного счёта, которые используют различные физические возможности человека:

• счёт «на пальцах»;
• аудиомоторная технология счёта;
• визуальная технология счёта.

Характерной особенностью аудиомоторного устного счёта является сопровождение каждого действия и каждого числа словесной фразой типа «дважды два — четыре». Традиционная система счёта является именно аудиомоторной технологией. Недостатками аудиомоторного способа ведения расчётов являются:

отсутствие в запоминаемой фразе взаимосвязей с соседними результатами,
невозможность выделить во фразах о таблице умножения отдельно десятки и единицы произведения без повторения всей фразы;
невозможность обратить фразу вспять от ответа к множителям, что важно для выполнения деления с остатком;
медленная скорость воспроизведения словесной фразы.

Супервычислители, демонстрируя высокие скорости мышления, используют свои визуальные способности и отличную зрительную память. Люди, которые владеют скоростными вычислениями, не используют слов в процессе решения арифметического примера в уме. Они демонстрируют реальность визуальной технологии устного счёта, лишённой главного недостатка — замедленной скорости выполнения элементарных действий с числами.

Некоторые приёмы устного счёта

Для умножения числа на однозначный множитель (например, 34×9) устно, необходимо выполнять действия, начиная со старшего разряда, последовательно складывая результаты (30×9=270, 4×9=36, 270+36=306).

Для эффективного устного счёта полезно знать таблицу умножения до 19*9. В этом случае умножение 147*8 выполняется в уме так: 147×8=140×8+7×8= 1120 + 56= 1176. Однако, не зная таблицу умножения до 19×9, на практике удобнее вычислять все подобные примеры методом приведения множителя к базовому числу: 147×8=(150−3)×8=150×8−3×8=1200−24=1176, причём 150×8=(150×2)×4=300×4=1200.

Если одно из умножаемых раскладывается на однозначные множители, действие удобно выполнять, последовательно перемножая на эти множители, например, 225×6=225×2×3=450×3=1350. Также, проще может оказаться 225×6=(200+25)×6=200×6+25×6=1200+150=1350.

Несколько способов устного счета:

Умножение на 10. Приписать справа нуль: 48×10 = 480.

Умножение на 9. Для того чтобы умножить число на 9 надо к множимому приписать 0 и от получаемого числа отнять множимое, например 45×9=450−45=405.

Умножать на 5 удобнее так: сначала умножить на 10, а потом разделить на 2

Умножение на 11 двузначного числа . Раздвинуть цифры N и A, вписать посередине сумму (N+A).

например, 43×11 = = = 473.

При умножении на 1,5 умножаемое нужно разделить пополам и прибавить к умножаемому, например 48×1,5= 48/2+48=72. Можно применить при умножении на 15 48×1,5×10 = 720.

Возведение числа вида (оканчивающееся пятёркой) в квадрат производится по схеме: умножаем N на N+1, записываем в сотни, и приписываем 25 справа. Формула:  ×  = .

Доказательство:(10⋅N+5)⋅(10⋅N+5)=102⋅N2+2⋅5⋅10⋅N+52=100⋅N2+100⋅N+25=100⋅N(N+1)+25{\displaystyle (10\cdot N+5)\cdot (10\cdot N+5)=10^{2}\cdot N^{2}+2\cdot 5\cdot 10\cdot N+5^{2}=100\cdot N^{2}+100\cdot N+25=100\cdot N(N+1)+25}
Например, 65² = 6×7 и приписываем справа 25, получим 4225 или 95² = 9025 (сотни 9×10 и приписать 25 справа).

Числа, близкие к удобным для умножения числам. можно возводить в квадрат с помощью формулы A2=(A+d)(A−d)+d2{\displaystyle A^{2}=(A+d)(A-d)+d^{2}} (например, 42² = (42 + 2)(42 − 2) + 2² = 44 × 40 + 4 = 1760 + 4 = 1764). Так же можно перемножать числа, находящиеся на одинаковом небольшом расстоянии от удобных, например: 23 × 17 = (20 + 3)(20 − 3) = 20² − 3² = 400 − 9 = 391.

Умножение на 11

Мы знаем, как просто умножить любое однозначное число на 11: просто два раза повторить его и — готово!

Но мало кто владеет навыком умножения двузначных и даже трёхзначных чисел на 11. 

Чтобы умножить двузначное число на 11, необходимо разнести его цифры в разные стороны, а посередине записать их сумму. Если сумма больше 10 — то посередине оставляем вторую цифру от полученного числа, а десяток, то есть единицу, прибавляем к первой цифре.

Пример 1: 36×11 = 3 (3+6) 6 = 396 

Пример 2: 57×11 = 5 (5+7) 7 = 627

Для умножения трёхзначных чисел:

• Оставьте без изменения первую и последнюю цифру числа.
• Сложите предпоследнюю цифру с последней запишите результат. Если он больше 10, запомните единицу.
• Прибавьте к первой цифре вторую и запишите результат. Если от предыдущего сложения осталась единица, добавьте её к результату.
• Если в результате последнего сложения осталась единица, прибавьте её к первой цифре исходного числа.

Пример 3: 869×11

1. Запоминаем 9 во временный результат. Результат: 8…9.
2. Складываем 6 и 9, получаем 15. Записываем 5 перед 9, 1 — запоминаем. Результат: 8…59 (1 в уме).
3. Складываем 8 и 6, получаем 14, прибавляем 1 из прошлого результата. Результат: 8559 (1 в уме).
4. Прибавляем к 8 единицу из прошлого результата. Результат: 9559.