Инженерный калькулятор онлайн с самыми точными расчетами!

Квадрат близкий к известному квадрату

Методика: к квадрату числа на единицу меньше прибавляем само число и число на единицу меньше.

• 312 = 302 31 30 = 961
• 162 = 152 15 16 = 225 31 = 256

Методика: из квадрата числа на единицу больше вычитаем само число и число на единицу больше.

• 192 = 202 – 19 – 20 = 400 – 39 = 361
• 242 = 252 – 24 – 25 = 625 – 25 – 24 = 576

На 2 больше

Методика: к квадрату числа на 2 меньше прибавляем удвоенную сумму самого числа и числа на 2 меньше.

• 222 = 202 2*(20 22) = 400 84 = 484
• 272 = 252 2*(25 27) = 625 104 = 729

На 2 меньше

• 482 = 502 – 2*(50 48) = 2500 – 196 = 2 304
• 982 = 1002 – 2*(100 98) = 10 000 – 396 = 9 604

Все эти методики можно легко доказать, выведя алгоритмы из формул квадрата суммы и квадрата разности (о которых сказано выше).

Считать квадрат чисел, которые находятся в диапазоне от 40 до 60, можно очень простым способом. Алгоритм таков: к 25 прибавляем (или вычитаем) столько, насколько число больше (или меньше) 50. Умножаем эту сумму (или разность) на 100. К этому произведению добавляем квадрат разности числа, возводимого в квадрат, и пятидесяти. Посмотрите работу алгоритма на примерах:

• 442 = (25-6)*100 62 = 1900 36 = 1936
• 532 = (25 3)*100 32 = 2800 9 = 2809

Функция СТЕПЕНЬ для возведения числа в квадрат

В данном случае для нахождения квадрата числа нам поможет специальная функция под названием СТЕПЕНЬ. Эта функция относится к категории математических операторов и выполняет задачу по возведению указанного числа в заданную степень.

Формула данного оператора выглядит так: =СТЕПЕНЬ(число;степень).

Как мы видим, в данной формуле присутствует два аргумента: число и степень.

• “Число” – аргумент, который может быть представлен двумя способами. Можно прописать конкретное число, которое требуется возвести в степень, либо указать адрес ячейки с требуемым числом.
• “Степень” – аргумент, указывающий степень, в которую будет возводиться наше число. Так как мы рассматриваем возведение числа в квадрат, то указываем значение аргумента, равное цифре 2.

Давайте разберем применение функции СТЕПЕНЬ на примерах:

Способ 1. Указываем в качестве значения аргумента «Число» конкретную цифру

1. Выбираем ячейку, в которой будем производить расчеты. Затем кликаем по кнопке “Вставить функцию” (с левой стороны от строки формул).
2. Откроется окно Мастера функций. Кликаем по текущей категории и выбираем в открывшемся перечне строку “Математические”.
3. Теперь нам нужно в предложенном списке функций найти и кликнуть по оператору  “СТЕПЕНЬ”. Далее подтверждаем действие нажатием OK.
4. Перед нами откроется окно с настройками двух аргументов функции, которое содержит, соответственно, два поля для ввода информации, после заполнения которых жмем кнопку OK.
   • в поле “Число” пишем числовое значение, которое требуется возвести в степень
   • в поле “Степень” указываем нужную нам степень, в нашем случае – 2.
5. В результате проделанных действий мы получим квадрат заданного числа в выбранной ячейке.

Способ 2. Указываем в качестве значения аргумента «Число» адрес ячейки с числом

1. Теперь у нас уже есть конкретное числовое значение в отдельно ячейке (в нашем случае – B3). Так же, как и в первом способе, выделяем ячейку, куда будет выводиться результат, нажимаем на кнопку “Вставить функцию” и выбираем оператор “СТЕПЕНЬ” в категории “Математические”.
2. В отличие от первого способа, теперь вместо указания конкретного числа в поле “Число” указываем адрес ячейки, содержащей нужное число. Для этого кликаем сначала по полю аргумента, затем – по нужной ячейке. Значение поля “Степень” так же равно 2.
3. Далее нажимаем кнопку OK и получаем результат, как и в первом способе, в ячейке с формулой.

Примечание: Также, как и в случае использования формулы для расчета квадрата числа, функцию СТЕПЕНЬ можно применять для возведения числа в любую степень, указав в значении аргумента “Степень” нужную цифру. Например, чтобы возвести число в куб, пишем цифру 3.

Далее жмем Enter и значение куба указанного числа появится ячейке с фукнцией.

Об этой статье

Соавтор(ы):
Штатный редактор wikiHow

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту. wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества. Количество просмотров этой статьи: 52 667.

Категории: Математика

English:Square Fractions

Español:elevar fracciones al cuadrado

Deutsch:Brüche quadrieren

Português:Elevar Frações ao Quadrado

Italiano:Elevare le Frazioni al Quadrato

Français:élever une fraction au carré

Bahasa Indonesia:Menguadratkan Pecahan

Nederlands:Breuken kwadrateren

Tiếng Việt:Tính bình phương phân số

العربية:تربيع الكسور

ไทย:นำเศษส่วนมายกกำลังสอง

中文:计算分数的平方

Печать

Квадрат суммы двух выражений

Существует ряд случаев, когда умножение многочлена на многочлен можно значительно упростить. Таковым к примеру является случай (2x + 3y)2.

Выражение (2x + 3y)2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (2x + 3y)

(2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y)

Получили умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y) = 4×2 + 6xy + 6xy + 9y2 = 4×2 + 12xy + 9y2

То есть выражение (2x + 3y)2 равно 4×2 + 12xy + 9y2

(2x + 3y)2 = 4×2 + 12xy + 9y2

Решим аналогичный пример, который попроще:

(a + b)2

Выражение (a + b)2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (a + b)

(a + b)2 = (a + b)(a + b)

Выполним это умножение:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

То есть выражение (a + b)2 равно a2 + 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Оказывается, что случай (a + b)2 можно распространить для любых a и b. Первый пример, который мы решили, а именно (2x + 3y)2 можно решить с помощью тождества (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Для этого нужно подставить вместо переменных a и b соответствующие члены из выражение (2x + 3y)2. В данном случае переменной a соответствует член 2x, а переменной b соответствует член 3y

a = 2x

b = 3y

И далее можно воспользоваться тождеством (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, но вместо переменных a и b нужно подставлять выражения 2x и 3y соответственно:

(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 × 2x × 3y + (3y)2 = 4×2 + 12xy + 9y2

Как и в прошлый раз получили многочлен 4×2 + 12xy + 9y2. Решение обычно записывают покороче, выполняя в уме все элементарные преобразования:

(2x + 3y)2 = 4×2 + 12xy + 9y2

Тождество (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 называют формулой квадрата суммы двух выражений. Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Рассмотрим выражение (2 + 3)2. Его можно вычислить двумя способами: выполнить сложение в скобках и возвести полученный результат в квадрат, либо воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений.

Первый способ:

(2 + 3)2 = 52 = 25

Второй способ:

(2 + 3)2 = 22 + 2 × 2 × 3 + 32 = 4 + 12 + 9 = 25

Пример 2. Преобразовать выражение (5a + 3)2 в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(5a + 3)2 = (5a)2 + 2 × 5a × 3 + 32 = 25a2 + 30a + 9

Значит, (5a + 3)2 = 25a2 + 30a + 9.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата суммы. У нас должен получиться тот же результат:

(5a + 3)2 = (5a + 3)(5a + 3) = 25a2 + 15a + 15a + 9 = 25a2 + 30a + 9

Формула квадрата суммы двух выражений имеет геометрический смысл. Мы помним, что для вычисления площади квадрата нужно возвести во вторую степень его сторону.

Например, площадь квадрата со стороной a будет равна a2. Если увеличить сторону квадрата на b, то площадь будет равна (a + b)2

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке увеличили на b. У квадрата все стороны равны. Если его сторону увеличить на b, то остальные стороны тоже увеличатся на b

Получился новый квадрат, который больше предыдущего. Чтобы хорошо увидеть его, достроим отсутствующие стороны:

Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно по отдельности вычислить квадраты и прямоугольники, входящие в него, затем сложить полученные результаты.

Сначала можно вычислить квадрат со стороной a — его площадь будет равна a2. Затем можно вычислить прямоугольники со сторонами a и b — они будут равны ab. Затем можно вычислить квадрат со стороной b

В результате получается следующая сумма площадей:

a2 + ab + ab + b2

Сумму площадей одинаковых прямоугольников можно заменить на умножение 2ab, которое буквально будет означать «повторить два раза площадь прямоугольника ab». Алгебраически это получается путём приведения подобных слагаемых ab и ab. В результате получается выражение a2 + 2ab + b2, которое является правой частью формулы квадрата суммы двух выражений:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Литература

• Шнайер Б. Алгоритмы с открытыми ключами // Прикладная криптография. — Триумф, 2002. — ISBN 5-89392-055-4.
• Основы современной криптографии для специалистов в информационных технологиях
• Смарт Н. Алгоритмы возведения в степень // Криптография. — Москва: Техносфера, 2005. — С. 287—292. — 528 с. — ISBN 5-94836-043-1.
• Теоретико-числовые методы в криптографии
• Cohen H., Frei G. Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography. — Chapman & Hall/CRC, 2006. — С. 145—150. — 808 с. — ISBN 1-58488-518-1.
• Теоретико-числовые методы криптографии
• Алгоритмы с открытыми ключами // Простые числа: Криптографические и вычислительные аспекты

Функции инженерного калькулятора

Калькулятор умеет работать со степенями и логарифмами. Находит синус, косинус, тангенс и котангенс, а также арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Поддерживает двоичные логарифмы, логарифмы по основанию. Может возвести число в 10-ю степень. Также, калькулятор позволяет просматривать число Эйлера и число Пи. Помимо этого поддерживаются стандартные арифметический действия, с помощью которых вы можете сложить и вычесть числа, умножить и разделить, а также извлечь квадратный корень онлайн.

Подробная инструкция и ознакомление с основными возможностями.

1. Найти корень. Чтобы найти квадратный корень числа, введите это число в калькулятор, а затем нажмите кнопку «√», которая находится в верхнем ряду основного блока, вторая справа. Допустим, если мы введем число 9, то после нажатия на эту кнопку получим число 3.
2. Возвести число в квадрат. Чтобы возвести число в квадрат онлайн вам необходимо воспользоваться кнопкой «X2», которая находится в левом блоке функций, в правой части третьего ряда снизу. В результате число, имевшееся на экране, будет возведено в квадрат. К примеру, на экране горит 3. В результате мы получим 9.
3. Возвести число в степень. Возвести число в степень можно с помощью кнопки «Xy» в правом верхнем углу калькулятора. Сначала введите число, которое нужно возвести, затем нажмите на эту кнопку и введите число самой степени. Например, если мы попробуем возвести 10 в степень 2, то получим 100.
4. Синус, косинус, тангенс, котангенс. Часто бывает так, что необходимо найти синус острого угла, косинус прямого угла, синус внешнего угла, а также тангенс или котангенс треугольника. На нашем калькуляторе данные вычисления можно производить с помощью кнопок «sin», «cos», «tg», «ctg». Приведем конкретный пример: допустим, нам требуется найти косинус угла в 90 градусов. Для этого, введем на калькуляторе цифру 90 и нажмем кнопку «cos» в левом блоке функций. В результате мы получим длинную цифру -0.4480736161291701. Это и есть косинус угла 90. Точно так же на нашем калькуляторе можно вычислить косинус угла 60, синус угла 90 и многое другое.
5. Арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс. Вычисляются точно так же как и в предыдущем примере. Просто введите нужное число (градусы угла) и нажмите на одну из следующих кнопок соответственно: «asin», «acos», «atg», «actg».
6. Логарифм по основанию вычисляется с помощью кнопки logyx. Введите число, допустим 10. Затем нажмите на эту кнопку и введите основание. Допустим 2. После нажатия на кнопку равно, мы получим ответ: 3.321928094887.
7. Возвести 10 в n-ю степень. С помощью данной функции можно возвести число 10 в степень, которая горит на табло калькулятора. Для этого используем кнопку X2,  которая располагается во втором ряду снизу (в левом блоке). К примеру, у нас на экране горит цифра 2. В результате произойдет возведение 10 во 2-у степень, т.е. 10^2=100.
8. Превратить число в отрицательное или положительное. Иногда требуется превратить число в отрицательное или наоборот. Чтобы не вводить его заново, просто нажмите на кнопку «+/-»
9. Посмотреть число Пи и число Эйлера можно с помощью кнопок «П» и «е» в правом углу левого блока.
10. Простые математические действия осуществляются с помощью клавиш в правом (основном) блоке. «+» — сложение, «-» — вычитание, «x» – умножение и «÷» — умножение.
11. Функция памяти. Пользоваться функцией памяти в нашем онлайн калькуляторе очень просто. Допустим, вы получили какое-то число, которое нужно запомнить. Чтобы сделать это нажмите «M+». Когда это число вам понадобится, просто нажмите кнопку «MR» и оно выведется на экран. После этого вы сможете совершать с ним математические операции. Также, вы можете плюсовать или вычитать имеющееся число из числа, которое уже в памяти. Допустим, в памяти у вас число 10. А на экране число 2. Если вы нажмете кнопку «M-«, то из 10 вычтется 2 и в памяти останется число 8. Точно так же происходит с кнопкой «M+». Если вы хотите очистить память — нажмите «MC» и память станет пустой.
12. Разделить целое на текущее. Часто в инженерной работе требуется провести довольно тривиальное вычисление: узнать, сколько текущий показатель составляет от единого целого. Для этого в нашем инженерном калькулятор существует кнопочка 1/x. Она делит единицу на текущее число. Скажем, если на табло горит 5, то функция выведет 0.2.

Кубический корень

Само название функции намекает нам на то, что она не подходит для извлечения корня степени отличной от двойки. Поэтому для извлечения кубических корней, сначала необходимо вспомнить связь между степенями и корнями, которую продемонстрируем на корне квадратном:

Вышеуказанное соотношение несложно доказать и для других степеней вида .

В случае с квадратным или кубическим корнем эти операции действительно эквивалентны, но, вообще говоря, в математике извлечение корня и возведение в дробную степень имеют существенные отличия при рациональных степенях вида m/n, где m != 1. Формально, в дробно-рациональную степень можно возводить только положительные вещественные числа. В противном случае возникают проблемы:

Таким образом, извлечь кубический корень в Python можно следующим образом:

Или же:

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Запомните!

В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют
вовзведение в степень, затем умножение и деление, а в
конце сложение и вычитание.

Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках,
а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Пример. Вычислить:

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться
таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором
«Возведение в степень онлайн».

Оптимизация алгоритма

Как правило, операция возведения в квадрат выполняется быстрее операции умножения. Метод окон позволяет сократить количество операций умножения и, следовательно, сделать алгоритм возведения в степень более оптимальным.

Окно фактически представляет собой основание системы счисления. Пусть w — ширина окна, то есть за один раз учитывается w знаков показателя.

Рассмотрим метод окна.

1. Для i=,2w−1¯{\displaystyle i={\overline {0,2^{w}-1}}} заранее вычисляется xi
2. Показатель степени представляется в следующем виде: n=∑i=kwni⋅2i⋅w{\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k/w}{n_{i}\cdot 2^{i\cdot w}}}, где ni∈(,1,…,2w−1){\displaystyle n_{i}\in {(0,1,…,2^{w}-1)}}
3. Пусть y — переменная, в которой будет вычислен конечный результат. Положим y=xnkw{\displaystyle y=x^{n_{k/w}}}.
4. Для всех i = k/w — 1, k/w — 2, …, 0 выполнить следующие действия:
   1. y=y2w{\displaystyle y=y^{2^{w}}}
   2. y=y⋅xni{\displaystyle y=y\cdot x^{n_{i}}}.

В данном алгоритме требуется k возведений в квадрат, но число умножений в среднем сокращается до k/w.

Ещё более эффективным является метод скользящего окна. Он заключается в том, что ширина окна во время выполнения процесса может изменяться:

1. Показатель степени представляется в виде n=∑i=lni⋅2ei{\displaystyle n=\sum _{i=0}^{l}{n_{i}\cdot 2^{e_{i}}}}, где ni∈(1,3,5,…,2w−1){\displaystyle n_{i}\in {(1,3,5,…,2^{w}-1)}}, а e_i+1 — e_i ≥ w.
2. Для i=(1,3,5,…,2w−1){\displaystyle i=(1,3,5,…,2^{w}-1)} вычисляется xi. Далее будем обозначать xi как x_i.
3. Пусть y — переменная, в которой будет вычислен конечный результат. Положим y=xnl{\displaystyle y=x^{n_{l}}}.
4. Для всех i = l — 1, l — 2, …, 0 выполнить следующие действия:
   1. Для всех j от 0 до e_i+1 — e_i — 1 y возвести в квадрат
   2. j=mi{\displaystyle j=m_{i}}
   3. y=y⋅xj{\displaystyle y=y\cdot x_{j}}
5. Для всех j от 0 до e — 1 y возвести в квадрат.

Количество операций возведения в степень в данном алгоритме такое же, как и в методе окна, а вот количество операций умножений сократилось до l, то есть до kw+1{\displaystyle {\frac {k}{w+1}}} в среднем.

Для примера возведём методом скользящего окна число x в степень 215. Ширина окна w = 3.

1. 215 = 27 + 5 · 24 + 7
2. y = 1
3. y = y · x = x
4. y 3 раза возводится в квадрат, так как на данном шаге e₂ — e₁ −1 = 7 — 4 — 1 = 2, а отсчёт ведётся с нуля, то есть y = y8 = x8
5. y = y · x5 = x13
6. y 4 раза возводится в квадрат, так как на данном шаге e₁ — e −1 = 4 — 0 — 1 = 3, то есть y = y16= x208
7. y = y · x7 = x215

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a-b3=a3-3a2b 3ab2-b3. Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a2-b2=a-ba b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a2 ab b2 и a2-ab b2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Возведение двучлена в степень

Двучлен — это многочлен, состоящий из двух членов. В прошлых уроках мы возводили двучлен во вторую и третью степень, тем самым получили формулы сокращенного умножения:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Но двучлен можно возводить не только во вторую и третью степень, но и в четвёртую, пятую или более высокую степень.

К примеру, возведём двучлен a + b в четвертую степень:

(a + b)4

Представим это выражение в виде произведения двучлена a + b и куба этого же двучлена

(a + b)(a + b)3

Сомножитель (a + b)3 можно заменить на правую часть формулы куба суммы двух выражений. Тогда получим:

(a + b)(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)

А это обычное перемножение многочленов. Выполним его:

То есть при возведении двучлена a + b в четвертую степень получается многочлен a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Возведение двучлена a + b в четвертую степень можно выполнить ещё и так: представить выражение (a + b)4 в виде произведения степеней (a + b)2(a + b)2

(a + b)2(a + b)2

Но выражение (a + b)2 равно a2 + 2ab + b2. Заменим в выражении (a + b)2(a + b)2 квадраты суммы на многочлен a2 + 2ab + b2

(a2 + 2ab + b2)(a2 + 2ab + b2)

А это опять же обычное перемножение многочленов. Выполним его. У нас получится тот же результат, что и раньше:

Хитрости и базовые алгоритмы, как быстро считать

Рассмотрим несколько общепринятых упрощений счета, с их помощью вам удастся научиться считать быстро

Обращу ваше внимание также на то, что никто не запрещает вам импровизировать – математика тем и замечательна, что при всей своей точности и строгости не запрещает действовать красиво, подобно искусству. А навык считать быстро – это именно искусство! Итак, некоторые хитрости, как научиться считать быстро

Допустим, вам необходимо произвести сложение многозначных слагаемых. Легко! Слагайте разрядами: к большему числу прибавьте старший разряд меньшего числа, затем уже суммируйте с младшими разрядами. Допустим, вам надо сложить 361 и 523. Сразу удержать в памяти будет не просто, согласитесь? Поэтому наш ход действий будет таков:

1. Меньше число определили – 361.
2. Что такое 361? Это 300+60+1. Сложно оспорить, если стремиться быть рациональным.
3. К 523 прибавим сначала 300. Получаем 823.
4. Затем прибавим 60 – получаем 883.
5. И в завершении — наша единичка, прибавленная к сумме, полученной ранее, даст нам результат 884.

Вот видите, было куда проще держать 3 числа в голове, чем единовременно складывать два трехзначных! У нас начинает получаться считать быстро в уме!

То же самое проделывайте и с вычитанием, но только лишь последовательным отнятием разрядов мы не добьемся необходимой скорости! Можно несколько схитрить, добавив в наш арсенал еще один навык – нарастить/отнять до круглого (удобного числа).

Например, вам необходимо отнять 93 от 250. Ну неудобно же!

А что такое 93? Правильно, это 100-7!

250 – 100 = 150.

Делаем поправку на наше «исправление» числа. Если мы добавляли – необходимо добавить к частному, и наоборот. В нашем случае мы «нарастили» число 93 до 100, прибавив 7. Значит, к частному добавляем 7.

150 + 7 = 157.

Проверьте на калькуляторе. Заметно больше времени ушло на набор цифр, чем на вычисление? Это признак того, что вам уже неплохо дается навык, как считать быстро в уме!

Теперь с умножением. Ускорить счет можно разными путями. Например, при перемножении чисел разбивайте множители на множители второго уровня.

Например:

12 х 150

Куча путей к решению! И тут ваш алгоритм может отличаться от путей других людей – не пугайтесь, на то мы, гении, народ и уникальный =)

Можно так: 12 = 3х4. Умножаем 150 х 4 = 600, затем 600 х 3 = 1800.

Я не задумываясь, стал считать так: 12 = 10 + 2. А теперь элементарно: (150 х 10) + (150 х2). Все это элементарные школьные правила, которые мы, к сожалению, забываем. Несложно заметить, что в этом случае считать практически не придется – дописать ноль к 150, получив полторы тысячи, да умножить 150 на 2, получив 300. Результат тот же, 1800.

Исходя из опыта быстрого умножения, несложно догадаться, как быстро делить числа в уме. Можно вновь пойти разными путями, от параллельного деления на упрощенный делитель делимого до округления делимого вплоть до элементаризации деления с поправкой.

Например:

390:40

Для начала отбросьте одинаковое кол-во нулей. В этом примере это просто — 39:4. Наш мозг гораздо охотнее оперирут с маленькими числами, чем с многоразрядными величинами.

Вы наверняка заметили, что число 39 так и хочется округлить до 40. Ну так что нам мешает? (39+1):4 = 10.

Но изменив делимое, нам необходимо откорректировать ответ. Итак, очевидно, что он будет меньше 10, так как мы прибавляли к делимому некое число 1. Теперь нам нужно отнять от 10 результат деления числа-корректора на делитель (4). Если бы мы отнимали, то процедура была бы обратной, это само собой разумеется.

Итак, 1:4 = 0.25 

10-0.25 = 9.75.

Ответ: 9.75 (9 3/₄)

Гораздо проще нашему мозгу воспринимать натуральные дроби, то есть представляем 0.25 как 1/4 (одна четвертая, четверть), и дальше будет совсем легко быстро посчитать в уме результат!

Помните, не так сложно понять, как быстро научиться считать. Куда сложнее быстро подобрать метод к конкретной ситуации, но это решается с помощью колоссальной практики.

Импровизируйте!